Характеристика кольца | это... Что такое Характеристика кольца? (original) (raw)

Определение

Пусть — произвольное кольцо. Если существует такое целое положительное , что для каждого $r \in R$ выполняется равенство nr = 0 , то наименьшее из таких чисел (скажем, n_0 ) называется характеристикой кольца , а само называется кольцом положительной характеристики . Если таких чисел не существует, то называется кольцом характеристики .

Характеристика кольца обозначается символом $\mathop{\mathrm{char}} R$ .

Примеры

Свойства

Если кольцо $R \neq \{0\}$ с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику , то — простое число. Следовательно, характеристика любого поля есть либо , либо простое число . В первом случае поле содержит в качестве подполя поле изоморфное полю рациональных чисел $\mathbb{Q}$ , во втором случае поле содержит в качестве подполя поле изоморфное $\mathbb{F}_p$ . В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в ).
Характеристикой конечного поля является простое число. Заметим, что из того, что характеристика поля конечна, не следует, что поле конечно. Примерами таких полей являются поле рациональных функций над $\mathbb{F}_p$ и алгебраическое замыкание поля $\mathbb{F}_p$ .
Если — коммутативное кольцо простой характеристики , то $(a + b)^{p^n} = a^{p^n} + b^{p^n}$ для всех $a, b \in R$ , $n \in \mathbb{N}$ .

Литература

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.