Точка перегиба функции | это... Что такое Точка перегиба функции? (original) (raw)

У этого термина существуют и другие значения, см. Точка перегиба.

Точка перегиба функции $f:\R\to\R$ внутренняя точка x_0 области определения , такая что непрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, и x_0 является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот.

Неофициальное

В этом случае точка (x_0; f(x_0)) является точкой перегиба графика функции, то есть график функции в точке «перегибается» через касательную к нему в этой точке: при x<x_0 касательная лежит под графиком , а при x>x_0 — над графиком (или наоборот)

Условия существования

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x_0 , имеет в x_0 точку перегиба, то ~f''(x_0)=0 .

Достаточное условие существования точки перегиба: если функция f(x) в некоторой окрестности точки раз непрерывно дифференцируема, причем нечётно и $k\ge3$ , и $~f^{(n)}=0$ при ~n=2, 3, . . ., k-1 , а $f^{(k)}\not=0$ , то функция f(x) имеет в x_0 точку перегиба.