Построение с помощью циркуля и линейки | это... Что такое Построение с помощью циркуля и линейки? (original) (raw)

Построения с помощью циркуля и линейки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:

Содержание

Пример

Разбиение отрезка пополам

Задача на бисекцию. С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке:

Формальное определение

В задачах на построение рассматриваются множество всех точек плоскости, множество всех прямых плоскости и множество всех окружностей плоскости, над которыми допускаются следующие операции:

  1. Выделить точку из множества всех точек:
    1. произвольную точку
    2. произвольную точку на заданной прямой
    3. произвольную точку на заданной окружности
    4. точку пересечения двух заданных прямых
    5. точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности
    6. точки пересечения/касания двух заданных окружностей
  2. «С помощью линейки» выделить прямую из множества всех прямых:
    1. произвольную прямую
    2. произвольную прямую, проходящую через заданную точку
    3. прямую, проходящую через две заданных точки
  3. «С помощью циркуля» выделить окружность из множества всех окружностей:
    1. произвольную окружность
    2. произвольную окружность с центром в заданной точке
    3. произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками
    4. окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками

В условиях задачи задается некоторое множество точек. Требуется с помощью конечного количества операций из числа перечисленных выше допустимых операций построить другое множество точек, находящееся в заданном соотношении с исходным множеством.

Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:

  1. Описание способа построения заданного множества.
  2. Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.
  3. Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.

Известные задачи

Построение правильных многоугольников

Построение правильного пятиугольника

Античным геометрам были известны способы построения правильных _n_-угольников для n=2^k\,\!, n=3\cdot 2^k, n=5\cdot 2^k и n=3\cdot5\cdot2^k.

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных _n_-угольников при n=2^k\cdot p_1\cdots p_m, где p_i\,\! — различные простые числа Ферма. В 1836 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Неразрешимые задачи

Следующие три задачи на построение были поставлены ещё в античности:

Только в XIX веке было доказано, что все три задачи неразрешимы при использовании только циркуля и линейки. Вопрос возможности построения полностью решён алгебраическими методами, основанными на теории Галуа.

Возможные и невозможные построения

Все построения являются не чем иным, как решениями какого-либо уравнения, причем коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определенного типа. В рамках вышеописанных требований возможны следующие построения:

Иначе говоря, возможно построить лишь числа равные арифметическим выражениям с использованием квадратного корня из исходных чисел (длин отрезков). Например,

Вариации и обобщения

Интересные факты

См. также

Примечания

  1. ↑ Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам?. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  2. ↑ Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  3. ↑ Стандарт флага Ирана (перс.)(недоступная ссылка)

Литература