Конъюнктивная нормальная форма | это... Что такое Конъюнктивная нормальная форма? (original) (raw)

Конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (КНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов. Конъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем. Любая булева формула может быть приведена к КНФ.[1] Для этого можно использовать: Закон двойного отрицания, Закон де Моргана, Дистрибутивность.

Содержание

Примеры и контрпримеры

Формулы в КНФ:

\neg A \wedge (B \vee C)

(A \vee B) \wedge (\neg B \vee C \vee \neg D) \wedge (D \vee \neg E)

A \wedge B

Формулы не в КНФ:

\neg (B \vee C)

(A \wedge B) \vee C

A \wedge (B \vee (D \wedge E)).

Но эти 3 формулы не в КНФ эквивалентны следующим формулам в КНФ:

\neg B \wedge \neg C

(A \vee C) \wedge (B \vee C)

A \wedge (B \vee D) \wedge (B \vee E).

Построение КНФ

Алгоритм построения КНФ

  1. Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:

A \rightarrow B = \neg A \vee B

A \leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\neg A \wedge \neg B)

  1. Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

\neg (A \vee B) = \neg A \wedge \neg B

\neg (A \wedge B) = \neg A \vee \neg B

  1. Избавиться от знаков двойного отрицания.

  2. Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

Пример построения КНФ

Приведем к КНФ формулу

F = ( X \rightarrow Y ) \wedge (( \neg Y \rightarrow Z ) \rightarrow \neg X )

Преобразуем формулу F к формуле не содержащей → :

F = ( \neg X \vee Y ) \wedge ( \neg ( \neg Y \rightarrow Z ) \vee \neg X ) = ( \neg X \vee Y ) \wedge ( \neg ( \neg \neg Y \vee Z ) \vee \neg X )

В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:

F = ( \neg X \vee Y) \wedge ((\neg Y \wedge \neg Z) \vee \neg X) = (\neg X \vee Y) \wedge ((\neg Y \wedge \neg Z) \vee \neg X)

По закону дистрибутивности получим КНФ:

F = (\neg X \vee Y) \wedge (\neg X \vee \neg Y) \wedge (\neg X \vee \neg Z)

_k_-конъюнктивная нормальная форма

_k_-конъюнктивной нормальной формой называют конъюнктивную нормальную форму, в которой каждая дизъюнкция содержит ровно k литералов.

Например, следующая формула записана в 2-КНФ:

(A \or B) \and (\neg B \or C) \and (B \or \neg C)

Переход от КНФ к СКНФ

Если в простой дизъюнкции не хватает какой-то переменной (например, z), то добавляем в нее выражение :Z \wedge \neg Z = 0 (это не меняет самой дизъюнкции), после чего раскрываем скобки с использованием распределительного закона:

(X \vee Y) \wedge (X \vee \neg Y \vee \neg Z) = (X \vee Y \vee (Z \wedge \neg Z)) \wedge (X \vee \neg Y \vee \neg Z) = (X \vee Y \vee Z) \wedge (X \vee Y \vee \neg Z) \wedge (X \vee \neg Y \vee \neg Z)

Таким образом, из КНФ получена СКНФ.

Формальная грамматика, описывающая КНФ

Следующая формальная грамматика описывает все формулы, приведенные к КНФ:

<КНФ> → <дизъюнкт>

<КНФ> → <КНФ> ∧ <дизъюнкт>

<дизъюнкт> → <литерал>

<дизъюнкт> → (<дизъюнкт> ∨ <литерал>)

<литерал> → <терм>

<литерал> → ¬<терм>

где <терм> обозначает произвольную булеву переменную.

Задача выполнимости формулы в КНФ

В теории вычислительной сложности важную роль играет задача выполнимости булевых формул в конъюнктивной нормальной форме. Согласно теореме Кука, эта задача NP-полна, и она сводится к задаче о выполнимости формул в 3-КНФ, которая сводится и к которой в свою очередь сводятся другие NP-полные задачи.

Задача о выполнимости 2-КНФ формул может быть решена за линейное время.

См. также

Примечания

  1. ↑ Поздняков С.Н., Рыбин С.В. Дискретная математика. — С. 303.

Литература

Ссылки