NP-полная задача | это... Что такое NP-полная задача? (original) (raw)

В теории алгоритмов NP-полная задача — задача из класса NP, к которой можно свести любую другую задачу из класса NP за полиномиальное время. Таким образом, NP-полные задачи образуют в некотором смысле подмножество «самых сложных» задач в классе NP; и если для какой-то из них будет найден «быстрый» алгоритм решения, то и любая другая задача из класса NP может быть решена так же «быстро».

Содержание

1 Формальное определение
- 1.1 NP-полнота в сильном смысле
2 Гипотеза P ≠ NP
3 Примеры NP-полных задач
4 См. также
5 Примечания
6 Литература
7 Ссылки

Формальное определение

Алфавитом называется всякое конечное множество символов (например, $\{0,1\}$ или $\{a,b,c\}$ ). Множество всех возможных слов (конечных строк, составленных из символов этого алфавита) над некоторым алфавитом $\Sigma$ обозначается $\Sigma^*$ . Языком над алфавитом $\Sigma$ называется всякое подмножество множества $\Sigma^*$ , то есть $L\subset\Sigma^*$ .

Задачей распознавания для языка называется определение того, принадлежит ли данное слово языку .

Язык L_1 называется сводимым (по Карпу) к языку L_2 , если существует функция, $f: \Sigma^* \to \Sigma^*$ , вычислимая за полиномиальное время, обладающая следующим свойством:

Сводимость по Карпу обозначается как $L_1 {\le}_p L_2$ или $L_1 \varpropto L_2$ .

Язык L_2 называется NP-трудным, если любой язык из класса NP сводится к нему. Язык называют NP-полным, если он NP-труден, и при этом сам лежит в классе NP.

Таким образом, если будет найден алгоритм, решающий некоторую (любую) NP-полную задачу за полиномиальное время, то все NP-задачи окажутся в классе P, то есть будут решаться за полиномиальное время.

NP-полнота в сильном смысле

Задача называется NP-полной в сильном смысле, если у неё существует подзадача, которая:

не является задачей с числовыми параметрами (т.е. максимальное значение величин, встречающихся в этой задаче ограничено сверху полиномом от длины входа),
принадлежит классу NP,
является NP-полной.

Класс таких задач называется NPCS. Если гипотеза P ≠ NP верна, то для NPCS задачи не существует псевдополиномиального алгоритма.

Гипотеза P ≠ NP

Вопрос о совпадении классов P и NP уже более 30 лет является открытой проблемой. Научное сообщество склоняется к отрицательному ответу на этот вопрос[1] — в этом случае решать NP-полные задачи за полиномиальное время не удастся.

Примеры NP-полных задач

См. также

Список NP-полных задач (англ.)русск.

Примечания

↑ William I. Gasarch (2002). «The P=?NP poll.». SIGACT News 33 (2): 34–47. DOI:10.1145/1052796.1052804.
↑ Erik D. Demaine, Susan Hohenberger, David Liben-Nowell. Tetris is Hard, Even to Approximate (англ.). preprint.

Литература

Томас Х. Кормен и др. Глава 34. NP-полнота // Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1

Ссылки

NP-полные задачи
Математика
Исследование операций:Оптимизация:Комбинаторная оптимизация
Максимизационная задача укладки (упаковки)	Упаковка в контейнеры (двумерная упаковка • линейная упаковка • упаковка по весу • упаковка по стоимости) • Задача о ранце (рюкзаке)
Теория графов теория множеств	Задача о вершинном покрытии • Задача о клике • Задача о независимом множестве (наборе) • Задача о покрытии множества • Задача Штейнера • Задача коммивояжёра • Обобщённая задача коммивояжёра
Алгоритмические задачи	Задача выполнимости булевых формул (в конъюнктивной нормальной форме)
Логические игры и головоломки	Обобщённые пятнашки с костяшками >15) (задача поиска кратчайшего решения) • Задачи, решения которых применяются в Тетрис • Задача обобщённого судоку • Задача о заполнении латинского квадрата • Задача какуро
См. также	Прикладная математика • Теория алгоритмов • Динамическое программирование • 21 NP-полная задача Карпа
Классы сложности