Египетские дроби | это... Что такое Египетские дроби? (original) (raw)

Египетская дробь — в математике сумма нескольких (конечного числа) попарно различных дробей вида $\frac{1}{n}$ (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{16}$ .

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби (вообще говоря, несколькими способами). Сумма такого типа использовалась математиками для записи произвольных дробей, начиная со времён древнего Египта до средневековья. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.


$= \frac{1}{10}$ У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2). $= \frac{3}{4}$ Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2_k_ (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат, основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката. $= \frac{1}{331}$ При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами. Античность и Средневековье Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci». Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские. Алгоритм Фибоначчи Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом. 1. Дробь $\frac{m}{n}$ разлагается на 2 слагаемых: $\frac{m}{n}=\frac{1}{\lceil n/m\rceil}+\frac{(-n)\,\bmod\, m}{n\lceil n/m\rceil}.$ Здесь $\lceil n/m\rceil$ — частное от деления n на m, округлённое до целого в бо́льшую сторону, а $~(-n)\,\bmod\, m$ — (положительный) остаток от деления -n на m. 2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1. Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение. Пример: $\frac{7}{15}=\frac{1}{3}+\frac{2}{15}=\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{120}$ Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения: $\frac{5}{121}=\frac{1}{25}+\frac{1}{757}+\frac{1}{763309}+\frac{1}{873960180913}+\frac{1}{1527612795642093418846225},$ в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению: $\frac{5}{121}=\frac{1}{33}+\frac{1}{121}+\frac{1}{363}.$ Современная теория чисел Открытые проблемы Литература Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007) Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.-Л.: ОНТИ, 1937. Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003) Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977. Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181—191. Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269—282. Beeckmans, L. (1993). «The splitting algorithm for Egyptian fractions». Journal of Number Theory 43: 173–185. Botts, Truman (1967). «A chain reaction process in number theory». Mathematics Magazine: 55–65. Breusch, R. (1954). «A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512». American Mathematical Monthly 61: 200–201. Bruins, Evert M. (1957). «Platon et la tabl égyptienne 2/n». Janus 46: 253–263. Eves, Howard An Introduction to the History of Mathematics,. — Holt, Reinhard, and Winston, 1953. — ISBN 0-03-029558-0 Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. — Dover, 1982. — ISBN ISBN 0-486-24315-X Graham, R. L. (1964). «On finite sums of reciprocals of distinct _n_th powers». Pacific Journal of Mathematics 14 (1): 85–92. Hultsch, Friedrich Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung. — Leipzig: S. Hirzel, 1895. Knorr, Wilbur R. (1982). «Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece». Historia Mathematica 9: 133–171. Lüneburg, Heinz Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. — Mannheim: B. I. Wissenschaftsverlag, 1993. — ISBN ISBN 3-411-15461-6 Martin, G. (1999). «Dense Egyptian fractions». Transactions of the American Mathematical Society 351: 3641–3657. Menninger, Karl W. Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. — MIT Press, 1969. — ISBN ISBN 0-262-13040-8 Robins, Gay; Shute, Charles The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. — Dover, 1990. — ISBN ISBN 0-486-26407-6 Stewart, B. M. (1954). «Sums of distinct divisors». American Journal of Mathematics 76: 779–785. Stewart, I. (1992). «The riddle of the vanishing camel». Scientific American (June): 122–124. Struik, Dirk J. A Concise History of Mathematics. — Dover, 1967. — P. 20–25. — ISBN ISBN 0-486-60255-9 Takenouchi, T. (1921). «On an indeterminate equation». Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3rd ser. 3: 78–92. Tenenbaum, G.; Yokota, H. (1990). «Length and denominators of Egyptian fractions». Journal of Number Theory 35: 150–156. Vose, M. (1985). «Egyptian fractions». Bulletin of the London Mathematical Society 17: 21. Wagon, S. Mathematica in Action. — W.H. Freeman, 1991. — P. 271–277. Ссылки Дэвид Эппштейн. Egyptian Fractions. Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012. Egyptian fractions. Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012. Mathematics in Egyptian Papyri (2000). Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012. Weisstein, Eric W. Egyptian Fraction (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Браун, Кевин. RMP 2/nth table.(недоступная ссылка — история) Категории: История математикиМатематические головоломки и досугНаука в Древнем ЕгиптеЭлементарная математикаТеория чисел Wikimedia Foundation.2010. Полезное Смотреть что такое "Египетские дроби" в других словарях: Египетская дробь — в математике сумма нескольких дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой положительное целое число. Пример: . Египетская дробь… … Википедия Папирус Ахмеса — Часть папируса Ахмеса Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда) древнеегипетское учебное руководство по арифметике … Википедия Рациональная функция — Рациональная функция это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид где , многочлены от любого числа переменных. Частным случаем являются рациональные функции одного переменного: , где… … Википедия Рациональная дробь — Рациональная дробь это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид где P(x) и Q(x) некоторые многочлены. Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями.… … Википедия Уаджет — Соколиный глаз Гора … Википедия Око Гора — Соколиный глаз Гора. Уаджет (также око Ра или глаз Гора) древнеегипетский символ, левый соколиный глаз бога Гора, который был выбит в его схватке с Сетом. Пр … Википедия Уджат — Соколиный глаз Гора. Уаджет (также око Ра или глаз Гора) древнеегипетский символ, левый соколиный глаз бога Гора, который был выбит в его схватке с Сетом. Пр … Википедия История арифметики — Арифметика. Роспись Пинтуриккьо. Апартаменты Борджиа. 1492 1495. Рим, Ватиканские дворцы … Википедия Математика — Слово математика происходит от греческого μάθημα (наука, учение), в свою очередь происходящего, вместе с имеющим одно с ним значение словом μάθησις, от глагола μανθάνω, первоначальное значение которого, учусь через размышление , устанавливало… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона Арифметика — Ганс Себальд Бехам. Арифметика. XVI век Арифметика (др. греч. ἀ … Википедия

$= \frac{1}{10}$ У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

$= \frac{3}{4}$ Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2_k_ (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат, основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката. $= \frac{1}{331}$ При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами. Античность и Средневековье Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci». Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские. Алгоритм Фибоначчи Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом. 1. Дробь $\frac{m}{n}$ разлагается на 2 слагаемых: $\frac{m}{n}=\frac{1}{\lceil n/m\rceil}+\frac{(-n)\,\bmod\, m}{n\lceil n/m\rceil}.$ Здесь $\lceil n/m\rceil$ — частное от деления n на m, округлённое до целого в бо́льшую сторону, а $~(-n)\,\bmod\, m$ — (положительный) остаток от деления -n на m. 2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1. Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение. Пример: $\frac{7}{15}=\frac{1}{3}+\frac{2}{15}=\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{120}$ Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения: $\frac{5}{121}=\frac{1}{25}+\frac{1}{757}+\frac{1}{763309}+\frac{1}{873960180913}+\frac{1}{1527612795642093418846225},$ в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению: $\frac{5}{121}=\frac{1}{33}+\frac{1}{121}+\frac{1}{363}.$ Современная теория чисел Открытые проблемы Литература Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007) Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.-Л.: ОНТИ, 1937. Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003) Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977. Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181—191. Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269—282. Beeckmans, L. (1993). «The splitting algorithm for Egyptian fractions». Journal of Number Theory 43: 173–185. Botts, Truman (1967). «A chain reaction process in number theory». Mathematics Magazine: 55–65. Breusch, R. (1954). «A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512». American Mathematical Monthly 61: 200–201. Bruins, Evert M. (1957). «Platon et la tabl égyptienne 2/n». Janus 46: 253–263. Eves, Howard An Introduction to the History of Mathematics,. — Holt, Reinhard, and Winston, 1953. — ISBN 0-03-029558-0 Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. — Dover, 1982. — ISBN ISBN 0-486-24315-X Graham, R. L. (1964). «On finite sums of reciprocals of distinct _n_th powers». Pacific Journal of Mathematics 14 (1): 85–92. Hultsch, Friedrich Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung. — Leipzig: S. Hirzel, 1895. Knorr, Wilbur R. (1982). «Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece». Historia Mathematica 9: 133–171. Lüneburg, Heinz Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. — Mannheim: B. I. Wissenschaftsverlag, 1993. — ISBN ISBN 3-411-15461-6 Martin, G. (1999). «Dense Egyptian fractions». Transactions of the American Mathematical Society 351: 3641–3657. Menninger, Karl W. Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. — MIT Press, 1969. — ISBN ISBN 0-262-13040-8 Robins, Gay; Shute, Charles The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. — Dover, 1990. — ISBN ISBN 0-486-26407-6 Stewart, B. M. (1954). «Sums of distinct divisors». American Journal of Mathematics 76: 779–785. Stewart, I. (1992). «The riddle of the vanishing camel». Scientific American (June): 122–124. Struik, Dirk J. A Concise History of Mathematics. — Dover, 1967. — P. 20–25. — ISBN ISBN 0-486-60255-9 Takenouchi, T. (1921). «On an indeterminate equation». Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3rd ser. 3: 78–92. Tenenbaum, G.; Yokota, H. (1990). «Length and denominators of Egyptian fractions». Journal of Number Theory 35: 150–156. Vose, M. (1985). «Egyptian fractions». Bulletin of the London Mathematical Society 17: 21. Wagon, S. Mathematica in Action. — W.H. Freeman, 1991. — P. 271–277. Ссылки Дэвид Эппштейн. Egyptian Fractions. Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012. Egyptian fractions. Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012. Mathematics in Egyptian Papyri (2000). Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012. Weisstein, Eric W. Egyptian Fraction (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Браун, Кевин. RMP 2/nth table.(недоступная ссылка — история) Категории: История математикиМатематические головоломки и досугНаука в Древнем ЕгиптеЭлементарная математикаТеория чисел Wikimedia Foundation.2010. Полезное Смотреть что такое "Египетские дроби" в других словарях: Египетская дробь — в математике сумма нескольких дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой положительное целое число. Пример: . Египетская дробь… … Википедия Папирус Ахмеса — Часть папируса Ахмеса Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда) древнеегипетское учебное руководство по арифметике … Википедия Рациональная функция — Рациональная функция это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид где , многочлены от любого числа переменных. Частным случаем являются рациональные функции одного переменного: , где… … Википедия Рациональная дробь — Рациональная дробь это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид где P(x) и Q(x) некоторые многочлены. Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями.… … Википедия Уаджет — Соколиный глаз Гора … Википедия Око Гора — Соколиный глаз Гора. Уаджет (также око Ра или глаз Гора) древнеегипетский символ, левый соколиный глаз бога Гора, который был выбит в его схватке с Сетом. Пр … Википедия Уджат — Соколиный глаз Гора. Уаджет (также око Ра или глаз Гора) древнеегипетский символ, левый соколиный глаз бога Гора, который был выбит в его схватке с Сетом. Пр … Википедия История арифметики — Арифметика. Роспись Пинтуриккьо. Апартаменты Борджиа. 1492 1495. Рим, Ватиканские дворцы … Википедия Математика — Слово математика происходит от греческого μάθημα (наука, учение), в свою очередь происходящего, вместе с имеющим одно с ним значение словом μάθησις, от глагола μανθάνω, первоначальное значение которого, учусь через размышление , устанавливало… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона Арифметика — Ганс Себальд Бехам. Арифметика. XVI век Арифметика (др. греч. ἀ … Википедия