Абсолютная величина | это... Что такое Абсолютная величина? (original) (raw)

График вещественной функции

Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа . Обозначается: ~|x| .

В случае вещественного абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

$\ |x| = \begin{cases} \ \ x, & x \geqslant 0 \\ -x, & \ x < 0. \end{cases}$

Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа ~z=x+iy , также иногда называемый абсолютной величиной[1]. Он определяется по формуле:

$|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}$

Содержание

1 Основные свойства
- 1.1 Вещественные числа
- 1.2 Комплексные числа
2 Алгебраические свойства
3 История
4 В языках программирования
5 Обобщение
6 См. также
7 Примечания

Основные свойства

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина ~|x_1 - x_2| означает расстояние между точками ~x_1 и ~x_2 и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Вещественные числа

Комплексные числа

Область определения: вся комплексная плоскость.
Область значений: ![~ 0; + \infty ).
Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.

Алгебраические свойства

Для любых $~a, b \in \mathbb{R}$ имеют место следующие соотношения:

Как для вещественных, так и для комплексных ~a, b имеют место соотношения:

История

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (только сравнениями и присваиванием), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа.

Обобщение

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую $\|x\|$ . Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также

Примечания

↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.