Дробная производная | это... Что такое Дробная производная? (original) (raw)

Дробная производная (или производная дробного порядка) является обобщением математического понятия производной. Существует несколько разных способов обобщить это понятие, но все они совпадают с понятием обычной производной в случае натурального порядка. Когда рассматриваются не только дробные, но и отрицательные порядки производной, к такой производной обычно применяется термин дифферинтеграл.

Содержание

Дробные производные на отрезке вещественной оси

Для функции \,f(x), заданной на отрезке [a,\, b], каждое из выражений

\,D^\alpha_{a+} \, f(x)= \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \frac {d}{dx} \int \limits_a^x \frac{f(t)\, dt}{(x-t)^\alpha}, \quad \,D^\alpha_{b-} \, f(x)= - \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \frac {d}{dx} \int \limits_x^b \frac{f(t)\, dt}{(t-x)^\alpha},

называется дробной производной порядка \, \alpha, \, 0 < \alpha < 1, соответственно левосторонней и правосторонней. Дробные производные в приведенном виде называют обычно производными Римана — Лиувилля.

Определение через интеграл Коши

Дробная производная порядка p (p — действительное положительное число) определяется через интеграл Коши: D_C^pf(t)=\frac1{\Gamma(p)}\!\int\limits_C\frac{f(u)}{(t-u)^{p+1}}\,du, где интегрирование ведется по выбранному заранее контуру C на комплексной плоскости. Непосредственное применение этой формулы затруднено из-за ветвления функции при дробном показателе степени в знаменателе.

Определение через преобразование Фурье

Основано на следующем свойстве интегрального преобразования Фурье

F(f') = i\omega F(f).\

Определение через общую формулу _n_-й производной

В случае, если есть общее аналитическое выражение для производной _n_-го порядка, понятие дробной производной может быть введено естественным образом путём обобщения данного выражения (когда это возможно) на случай произвольного числа n.

Пример 1: дифференцирование многочленов

Пусть f(x) есть моном вида

f(x) = x^k\,.

Первая производная, как и обычно

f'(x) = {d \over dx } f(x) = k x^{k-1}\,.

Повторение данной процедуры даёт более общий результат

{d^n \over dx^n } x^k = { k! \over (k - n) ! } x^{k-n}\,,

который после замены факториалов гамма-функциями приводит к

{d^n \over dx^n } x^k = { \Gamma(k+1) \over \Gamma(k - n + 1) } x^{k-n}\,.

Поэтому, например, половинная производная функции x есть

{ d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2} } x = { \Gamma(1 + 1) \over \Gamma ( 1 - {1 \over 2} + 1 ) } x^{1-{1 \over 2}} = { \Gamma( 2 ) \over \Gamma ( { 3 \over 2 } ) } x^{1 \over 2} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} x^{1 \over 2}\; = \frac{2\,x^{1 \over 2}}{\sqrt{\pi}}\,.

Повторяя процедуру, будем иметь

{ d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2} } {2 \pi^{-{1 \over 2}}} x^{1 \over 2} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} { \Gamma ( 1 + {1 \over 2} ) \over \Gamma ( {1 \over 2} - { 1 \over 2 } + 1 ) } x^{{1 \over 2} - {1 \over 2}} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} { \Gamma( { 3 \over 2 } ) \over \Gamma ( 1 ) } x^0 = { 1 \over \Gamma (1) } = 1\,,

что представляет собой ожидаемый результат

\left( \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \right) x = { d \over dx } x = 1 \,.

Таким образом можно ввести дробные производные произвольного положительного порядка от многочлена. Определение также естественно обобщается на аналитические функции. Рассматривая \Gamma как мероморфную функцию комплексного переменного, можно обобщить определение на случай произвольного порядка дифференцирования. При этом

{\left( {d\over dx} \right)}^a {\left( {d\over dx} \right)}^b = {\left( {d\over dx} \right)}^{a+b}

на всех x^k, таких что k-a, k-b и k-a-b не являются целыми отрицательными числами.

Следует заметить, что производная имеет место при целых отрицательных n, однако такая производная отличается от понятия первообразной _n_-го порядка, поскольку первообразная определена неоднозначно, в то время как производная в рассмотренном смысле совпадает лишь с одной из первообразных.

Пример 2: дифференцирование тригонометрических функций

Пусть

f(x) = \sin (ax+b)\,.

Поскольку для любых a и b

{d^n \over dx^n } \sin (ax+b) = a^n \sin \left(ax+b+{\pi n \over 2} \right)\,,

то, полагая n=1/2 ,

{{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}} \sin (ax+b) = \sqrt{a} \, \sin \left(ax+b+{\pi \over 4} \right)\,.

Действительно,

{{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}} \left( {{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}} \sin (ax+b) \right) = \sqrt{a} \; \sqrt{a} \, \sin \left(ax+b+{\pi \over 4}+{\pi \over 4} \right) = a \, \cos (ax+b) = f'(x)\,.

В рассмотренном примере понятие производной обобщается на случай любого действительного и даже комплексного порядка. Так, при n=-1 формула _n_-й производной даёт одну из первообразных функции f(x).

Свойства

Основные свойства производной нецелого порядка:

D^{q}_t(f(t)+g(t))= D^{q}_t(f(t))+ D^{q}_t(g(t))

D^{q}(ax)=a D^{q}(x)

D^{0}x=x

D^q_t(f(t)g(t))=\sum_{j=0}^{\infty} {q \choose j} D^j_t(f(t)) D^{q-j}_t(g(t))

D^a D^{b} f(t) = D^{a+b} f(t)

в общем случае не выполняется [1].

Примечания

  1. ↑ см. Свойство 2.4 (стр. 75) в книге A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations. (Elsevier, 2006)

См. также

Литература

Ссылки