Формула Планка | это... Что такое Формула Планка? (original) (raw)

Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения абсолютно чёрного тела, которое было получено Максом Планком. Для плотности энергии излучения u(\omega, T):

u(\omega,T) =\frac{ \omega^2}{\pi^2c^3}\frac{\hbar\omega}{ e^{\frac{\hbar\omega}{kT}}-1}.

Формула Планка была получена после того, как стало ясно, что формула Рэлея — Джинса удовлетворительно описывает излучение только в области длинных волн. Для вывода формулы Планк в 1900 году сделал предположение о том, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых связана с частотой излучения выражением:

\varepsilon = \hbar \omega.

Коэффициент пропорциональности \hbar впоследствии назвали постоянной Планка, \hbar = 1.054 · 10−27 эрг·с.

Содержание

Вывод для абсолютно чёрного тела

Излучение абсолютно чёрного тела

Выражение для средней энергии колебания с частотой ω дается выражением:

\overline{\varepsilon} = \frac{\hbar \omega} {\mathrm{exp}( \hbar \omega / kT) -1}, \qquad\qquad (1)

где \hbar — постоянная Планка, k — постоянная Больцмана.

Количество стоячих волн в трёхмерном пространстве равно:

\mathrm{d}n_{\omega}= \frac{\omega^2 \mathrm{d} \omega}{\pi^2 c^3} \qquad\qquad (2)

Переход к формулам Рэлея—Джинса.

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до \infty. При малых частотах (больших длинах волн), когда \hbar \omega / kT \ll 1 можно разложить экспоненту по \hbar \omega / kT. В результате получим, что \mathrm{exp}(\hbar \omega / kT) -1 \approx 1 + \hbar \omega / kT -1 = \hbar \omega / kT , тогда (1) и (2) переходят в формулу Рэлея—Джинса.

u(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{\pi^2 c^3} и

f(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{4 \pi^2 c^2}

Переход к закону Стефана — Больцмана.

Энергетическая светимость равна площади, ограниченной графиком функции f(ω,Т)

Для энергетической светимости следует записать интеграл:

R= \int_0^{\infty} f(\omega,T)\mathrm{d} \omega = \int_0^{\infty} \frac{\hbar \omega^3}{4 \pi^2 c^2} \cdot \frac{\mathrm{d} \omega }{\mathrm{exp}( \hbar \omega / kT) -1}

Введём переменную x = \hbar \omega / kT, тогда \omega = (kT/ \hbar)x , \mathrm{d} \omega = (kT/ \hbar) \mathrm{d}x, получим

R= \frac{\hbar}{4 \pi^2 c^2} \cdot \left( \frac{kT}{\hbar} \right)^4 \int_0^{\infty} \frac{x^3 \mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{e}^x -1}.

Полученный интеграл имеет точное значение: ~\pi^4 / 15 , подставив его получим известный закон Стефана — Больцмана:

R= \frac{\pi^2 k^4}{60 c^2 \hbar^3}T^4 = \sigma T^4

Подстановка численных значений констант даёт значение для \sigma = 5,6704 \cdot 10^{-8} Вт/(м^2 \cdot K^4), что хорошо согласуется с экспериментом.

Переход к закону смещения Вина

Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум.

Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение (5) по \lambda и приравнять нулю (поиск экстремума):

\frac{ \mathrm{d} \varphi(\lambda, T)}{\mathrm{d} \lambda} = \frac{ 4 \pi^2 \hbar c^2 \left\{ \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) - 5 \left[ \mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) -1 \right] \right\} } {\lambda^6 \left[ \mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) -1 \right]^2} =0 .

Значение \lambda_m, при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Обозначим \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda_m} = x, получится уравнение:

~xe^x-5(e^x-1)=0 .

Решение такого уравнения даёт x=4.965. Следовательно \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda_m} = 4,965, отсюда немедленно получается:

T \lambda_m = \frac{2 \pi \hbar c}{4.965 k} = b .

Численная подстановка констант даёт значение для b=0,0028999 К·м, совпадающее с экспериментом, а также удобную приближенную формулу \lambda_{\max}T \approx 3000 \quad мкм·К. Так, солнечная поверхность имеет максимум интенсивности в зеленой области (0,5 мкм), что соответствует температуре около 6000 К.

Литература