Эйлеров цикл | это... Что такое Эйлеров цикл? (original) (raw)

Граф Кёнигсбергских мостов. Этот граф не является эйлеровым, поэтому решения не существует.

Каждая вершина этого графа имеет чётную степень, поэтому этот граф — эйлеров. Обход рёбер в алфавитном порядке даёт эйлеров цикл.

Эйлеров путь (эйлерова цепь) в графе — это путь, проходящий по всем рёбрам графа и притом только по одному разу. (ср. Гамильтонов путь)

Эйлеров цикл — это эйлеров путь, являющийся циклом.

Эйлеров граф — граф, содержащий эйлеров цикл.

Полуэйлеров граф — граф, содержащий эйлеров путь (цепь).

Содержание

Существование эйлерова цикла и эйлерова пути

Эйлеров цикл/путь существуют только в связных графах или в графах, которые после удаления всех одиночных вершин превратятся в связные.

В неориентированном графе

Кроме того, согласно теореме, доказанной Эйлером, эйлеров цикл существует тогда и только тогда, когда граф связный и в нём отсутствуют вершины нечётной степени.

Эйлеров путь в графе существует тогда и только тогда, когда граф связный и содержит не более двух вершин нечётной степени.[1][2] Ввиду леммы о рукопожатиях, число вершин с нечётной степенью должно быть четным. А значит Эйлеров путь существует только тогда, когда это число равно нулю или двум. Причём когда оно равно нулю, эйлеров путь вырождается в эйлеров цикл.

В ориентированном графе

Ориентированный граф содержит эйлеров цикл тогда и только тогда, когда он сильно-связан и для каждой вершины графа её полустепень захода равна её полустепени исхода, то есть в вершину входит столько же ребер, сколько из неё и выходит.

Поиск эйлерова пути в графе

Можно всегда свести задачу поиска эйлерова пути к задаче поиска эйлерова цикла. Действительно, предположим, что эйлерова цикла не существует, а эйлеров путь существует. Тогда в графе будет ровно 2 вершины нечётной степени. Соединим эти вершины ребром, и получим граф, в котором все вершины чётной степени, и эйлеров цикл в нём существует. Найдём в этом графе эйлеров цикл (алгоритмом, описанным ниже), а затем удалим из ответа несуществующее ребро.

Поиск эйлерова цикла в графе

Будем рассматривать самый общий случай — случай ориентированного мультиграфа, возможно, с петлями. Также мы предполагаем, что эйлеров цикл в графе существует (и состоит хотя бы из одной вершины). Для поиска эйлерова цикла воспользуемся тем, что эйлеров цикл — это объединение всех простых циклов графа. Следовательно, наша задача — эффективно найти все циклы и эффективно объединить их в один.

Реализовать это можно, например, так, рекурсивно:

procedure find_all_cycles (v) var массив cycles

  1. пока есть цикл, проходящий через v, находим его добавляем все вершины найденного цикла в массив cycles (сохраняя порядок обхода) удаляем цикл из графа
  2. идем по элементам массива cycles каждый элемент cycles[i] добавляем к ответу из каждого элемента рекурсивно вызываем себя: find_all_cycles (cycles[i])

Достаточно вызвать эту процедуру из любой неодиночной вершины графа, и она найдёт все циклы в графе, удалит их из графа и объединит их в один эйлеров цикл.

Для поиска цикла на шаге 1 используем поиск в глубину.

Сложность полученного алгоритма — O(M), то есть линейная относительно количества рёбер М в данном графе.

Примечания

  1. ↑ Эйлеровы пути
  2. ↑ Маршруты и связность в орграфах

См. также

Ссылки