Основная теорема о вычетах | это... Что такое Основная теорема о вычетах? (original) (raw)

Теорема о вычетах явлется мощным инструментом для вычисления интеграла мероморфной функции по замкнутому контуру. Ее часто используют также для вычисления вещественных интегралов. Она является обобщением интегральной теоремы Коши и интегральной формулы Коши.

Illustration of the setting.

Теорема

Если аналитична в некоторой замкнутой односвязной области $\overline G\subset\mathbb C$ , за вычетом конечного числа особых точек $a_1,a_2,\dots,a_n$ , из которых ни одна не принадлежит граничному контуру $\partial G$ , то справедлива следующая формула:

$\int\limits_{\partial G}f(z)\,dz=2\pi i\sum_1^n\mathop{\mathrm{res}}_{z=a_k}f(z)$ , где $\mathop{\mathrm{res}}_{z=a_k}f$ — вычет в точке a_k .

Для использования теоремы в вычислении вещественных интегралов нужно продолжить интегрируемую функцию на комплексную плоскость и найти ее вычеты, что обычно довольно просто сделать. После этого нужно замкнуть контур интегрирования, добавив к вещественному отрезку полуокружность, лежащую в верхней или нижней комплексной полуплоскости. После этого интеграл по этому контуру можно вычислить, используя основную теорему о вычетах. Зачастую интеграл по полуокружности можно устремить к 0, выбрав ее правильным образом, после чего контурный интеграл станет равен вещественному.

Пример

Интеграл

$\int\limits_{-\infty}^\infty {e^{itx} \over x^2+1}\,dx$

Контур интегрирования.

возникает в теории вероятностей при расчете характеристической функции распределения Коши и не поддается вычислению обычными методами. Вычислим его через интеграл по контуру , указанному на рисунке ( a>1 ). Интеграл равен

$\int\limits_C {f(z)}\,dz =\int\limits_C {e^{itz} \over z^2+1}\,dz.$

Так как $e^{itz}$ — целая функция (нет сингулярностей на комплексной плоскости), то функция имеет сингулярности лишь в точках, где z^2+1=0 . Т.к. z^2+1=(z+i)(z-i) , это возможно лишь при z=i или z=-i . В пределах контура лежит лишь одна из этих точек.