Степенной ряд | это... Что такое Степенной ряд? (original) (raw)
Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:
в котором коэффициенты берутся из некоторого кольца
.
Содержание
Пространство степенных рядов
Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из обозначается ![R[[X]]](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1edaaf4a82237b5d111baaec4357d25c.png). Пространство ![R[[X]]](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1edaaf4a82237b5d111baaec4357d25c.png) имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом
(коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо
). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.
В ![R[[X]]](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1edaaf4a82237b5d111baaec4357d25c.png) определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть
Тогда:
(при этом необходимо, чтобы соблюдалось
)
Сходимость степенных рядов
Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путем приписывания формальной переменной какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).
Признаки сходимости
Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.
Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при , он расходится при всех
, таких что
. Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга
(возможно, нулевой или бесконечный), что при
ряд сходится абсолютно (и равномерно по
на компактных подмножествах круга
), а при
— расходится. Это значение
называется радиусом сходимости ряда, а круг
— кругом сходимости.
- Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле:
(По поводу определения верхнего предела см. статью «Частичный предел последовательности».)
Пусть и
— два степенных ряда с радиусами сходимости
и
. Тогда
Если у ряда свободный член нулевой, тогда
Вопрос о сходимости ряда в точках границы круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:
тогда степенной ряд сходится во всех точках окружности
абсолютно и равномерно по
.
Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра является предметом изучения теории аналитических функций.
См.также
Вариации и обобщения
Степенной ряд от n переменных — это формальное алгебраическое выражение вида:
или, в мультииндексных обозначениях,
где — это вектор
,
— мультииндекс
,
— одночлен
. Пространство степенных рядов от
переменных и коэффициентами из
обозначается ![R[[X_1,X_2,\dots,X_n]]](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/8bfde654075dbb30df199653a12276b8.png). В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования по каждой переменной и
-местной суперпозиции. Пусть
Тогда:
Про пространство ![R[[X_1,X_2,\dots,X_n]]](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/8bfde654075dbb30df199653a12276b8.png) можно сказать практически то же самое, что и про ![R[[X]]](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1edaaf4a82237b5d111baaec4357d25c.png). [источник не указан 1297 дней]