Кольцо (алгебра) | это... Что такое Кольцо (алгебра)? (original) (raw)

Кольцо (алгебра)

Кольцо (алгебра)

Кольцо - это множество, на котором заданы две операции, «сложение» и «умножение», со свойствами, напоминающими сложение и умножение целых чисел.

Содержание

Определения

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

  1. \forall a, b \in R \left(a + b = b + a\right) — коммутативность сложения;
  2. \forall a, b, c \in R \left(a + (b + c) = (a + b) + c\right) — ассоциативность сложения;
  3. \exists 0 \in R\; \forall a \in R \left(a + 0 = 0 + a = a\right) — существование нейтрального элемента относительно сложения;
  4. \forall a \in R\; \exists b \in R \left(a + b = b + a = 0\right) — существование обратного элемента относительно сложения;
  5. \forall a, b, c \in R\; (a \times b) \times c=a \times (b \times c) — ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы)
  6. \forall a, b, c \in R \left\{\begin{matrix} a \times (b + c) = a \times b + a \times c \\ (b + c) \times a = b \times a + c \times a \end{matrix}\right. — дистрибутивность.

Иными словами, кольцо — это универсальная алгебра \left(R, +, \times \right), такая что алгебра \left(R, + \right) — абелева группа, алгебра \left(R, \times \right) — полугруппа и операция + дистрибутивна относительно \times.

Ассоциативные кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:

Кольца, для которых выполнены все вышеперечисленные условия, называются целостными (иногда также областями целостности или просто областями, хотя условие коммутативности не всегда считается обязательным).

Иногда под ассоциативным кольцом понимают ассоциативное кольцо с единицей. Но имеются примеры ассоциативных колец без единицы, например — нулевое кольцо, кольцо чётных чисел, или же любой несобственный идеал в кольце. Рассматриваются также неассоциативные кольца без единицы, например лиевские кольца и др.

Связанные определения

Простейшие свойства

Пусть R — кольцо, тогда выполнены следующие свойства:

  1. \forall a \in R \left(a \times 0 = 0 \right);
  2. \forall a, b \in R \left(a \times \left( -b \right) = \left( -a \right) \times b = - \left( a \times b \right) \right);
  3. \forall a, b, c \in R \left(\left(a - b \right) \times c = a\times c - b\times c \right);
  4. \forall a, b, c \in R \left(c \times \left(a - b \right) = c\times a - c\times b \right).

Примеры

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Кольцо (алгебра)" в других словарях: