Гипергеометрическая функция | это... Что такое Гипергеометрическая функция? (original) (raw)

Гипергеометрическая функция (функция Гаусса) определяется внутри круга |z|<1 как сумма гипергеометрического ряда

F(a,b;c;z) = 1+ \sum^\infty_{k=1} \left[ \prod^{k-1}_{l=0} { ( a + l )( b + l ) \over ( 1 + l )( c + l ) } \right]z^k = 1+ \frac{a b}{c} \frac{z}{1!} + \frac{a (a+1) b (b+1)}{c (c+1)} \frac{z^2}{2!} + \dots,

а при |z|>1 — как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка называемого гипергеометрическим уравнением.

Содержание

История

Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Валлисом в 1655 году в книге Arithmetica Infinitorum. Термин этот относился к ряду, общая формула членов которого имеет вид[1]

\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n+1)}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n}.

Гипергеометрические ряды изучались Леонардом Эйлером, и более подробно Гауссом.[2] В XIX веке изучение было продолжено Эрнстом Куммером, а Бернард Риман определил гипергеометрическую функцию через уравнение, которому она удовлетворяет.

Гипергеометрическое уравнение

Рассмотрим дифференциальное уравнение Эйлера

z(1-z) \frac{d^2 u}{dz^2} + [c - (a + b +1)z]\frac{d u}{dz} - a b u =0, (ДифУрЭйл)

где параметры a, b и c могут быть произвольными комплексными числами. Его обобщение на произвольные регулярные сингулярные точки даётся дифференциальным уравнением Римана. Уравнение Эйлера имеет три особые точки: 0, 1 и \infty.

Когда параметр ~c не равен нулю и отрицательным целым числам (c \neq 0, -1, -2, \ldots) регулярное в нуле решение уравнения Эйлера (ДифУрЭйл) будет можно записать через ряд, называемый гипергеометрическим:

_2F_1(a,b;c;z) \equiv F(a,b;c;z) = 1+ \frac{a b}{c} \frac{z}{1!} + \frac{a (a+1) b (b+1)}{c (c+1)} \frac{z^2}{2!} + \dots.

Эту функцию называют гипергеометрической. Часто применяют обозначение

(p)_n = \frac{\Gamma(p + n)}{\Gamma(p)},

где \Gamma — гамма-функция. Тогда гипергеометрическую функцию можно представить в виде

F(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n z^n}{(c)_nn!}.

Нижние индексы в записи _2F_1(a,b,c;z) применяются в тех случаях, когда необходимо подчеркнуть отличие от других типов обобщённых гипергеометрических рядов. На границе |z|=1 ряд, через который определяется гипергеометрическая функция, абсолютно сходится, если действительная часть суммы a+b-c < 0, условно сходится при z\neq 1, 0 \le a+b-c < 1 и расходится, если a+b-c \ge 1. Второе линейно независимое решение уравнения (ДифУрЭйл) имеет вид

\ z^{1-c}F(b - c +1, a - c +1; 2 - c; z)

Оно имеет особую точку при z=0 и справедливо при всех неположительных ~c (c = 0, -1, -2, \ldots).[3]

Интегральное представление гипергеометрической функции при c - a - b > 0 может быть записано следующим образом:

F(a,b;c;z) = { \Gamma(c) \over \Gamma(b)\Gamma(c-b) } \int\limits_{0}^{1} t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-tz)^{-a} \,dt,

где \Gamma(x) — гамма-функция Эйлера.

Запись других функций через гипергеометрическую

Важным свойством гипергеометрической функции является то, что многие специальные и элементарные функции могут быть получены из неё при определённых значениях параметров и преобразовании независимого аргумента.

Примеры

Примечания

  1. ↑ Scott, 1981, p. 16
  2. ↑ Виноградов, 1977, с. 1004
  3. ↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 69—70

Литература