Интегрирование по частям | это... Что такое Интегрирование по частям? (original) (raw)

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

\int u\,dv=u\,v-\int v\,du

для определённого:

\int\limits_a^b u\,dv=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\,du

Предполагается, что нахождение интеграла \int v\, du проще, чем \int u\, dv\,. В противном случае применение метода неоправдано.

Содержание

Получение формул

Для неопределённого интеграла

Функции \textstyle\mathit{u} и \textstyle\mathit{v} гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

d(u\,v) = v\,du+u\,dv

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

\int d(u\,v) = \int v\,du+\int u\,dv

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

u\,v = \int v\,du+\int u\,dv

После перестановок:

\int u\,dv = u\,v-\int v\,du

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

\int \frac{dx}{x}=\frac{1}{x}\cdot x - \int \frac{-1}{x^2}\cdot x dx=1+\int \frac{dx}{x}

Отсюда «следствие»: 0=1, что очевидно неверно.

для определённого интеграла

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

d(u\,v)=v\,du+u\,dv

\int\limits_a^b d(u\,v)=\int\limits_a^b v\,du+\int\limits_a^b u\,dv

\int\limits_a^b u\,dv=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\,du

Примеры

\int x^2\sin x \,dx=\int x^2\,d(-\cos x)=-x^2\cos x-\int -2x\cos x\,dx=

=-x^2\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^2\cos x + 2x \sin x - \int 2\sin x \,dx = -x^2\cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C

\int \ln x\,dx=x\ln x-\int \frac{1}{x}x\,dx=x\ln x-x+C

\int \operatorname{arctg}\,x\,dx=x\,\operatorname{arctg}\,x-\int \frac{x}{1+x^2}\,dx=x\,\operatorname{arctg}\,x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C

I_1=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=

=\int e^{\alpha x}\,d\Big(-\frac{1}{\beta}\cos{\beta x}\Big)=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+\frac{\alpha}{\beta} \int e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}\,dx=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}+\frac{\alpha}{\beta}\,I_2

I_2=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=

=\int e^{\alpha x}\,d\Big(\frac{1}{\beta}\sin{\beta x}\Big)=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-\frac{\alpha}{\beta} \int e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}\,dx=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}-\frac{\alpha}{\beta}\,I_1

Таким образом один интеграл выражается через другой:

\begin{cases} I_1=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}+\frac{\alpha}{\beta}\,I_2 \\ I_2=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}-\frac{\alpha}{\beta}\,I_1 \end{cases}

Решив полученную систему, получаем:

I_1=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}\Big(\alpha\sin{\beta x}-\beta\cos{\beta x}\Big)+C

I_2=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}\Big(\alpha\cos{\beta x}+\beta\sin{\beta x}\Big)+C

См. также

Литература

Также см. Математический анализ#Библиография.

Ссылки