Неопределенный интеграл | это... Что такое Неопределенный интеграл? (original) (raw)

Неопределенный интеграл

В математическом анализе первообра́зной (первоо́бразной) или примити́вной функцией данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть _F_′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Для примера: F(x) = _x_3 / 3 является первообразной f(x) = _x_2. Так как производная константы равна нулю, _x_2 будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как _x_3 / 3 + 45645 или _x_3 / 3 − 36 … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции _x_2 можно обозначить как F(x) = _x_3 / 3 + C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально друг относительно друга, и их положение зависит от значения C.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:

$\int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a).$

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов:

$\int f(x)\, dx$

Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:

$F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt.$

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, $f(x) = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$ с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную $F(x) = x^2 sin\frac{1}{x}$ с F(0) = 0.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

$\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,dx.$

Более развёрнутое изложение этих фактов можно отыскать в дифференциальной теории Галуа.

Свойства первообразной

Первообразная суммы равна сумме первообразных
Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции f является непрерывность f на этом отрезке
Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции f первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу
У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Техника интегрирования

Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого имеется несколько методов:

линейность интегрирования позволяет разбивать сложные интегралы на части,
интегрирование через подстановку, часто применяемое вместе с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом,
интегрирование по частям для операций с произведениями функций,
метод обратной цепочки, особый случай интегрирования по частям,
метод интегрирования рациональных дробей позволяет интегрировать любые рациональные функции (дроби с полиномами в числителе и знаменателе),
алгоритм Риша (Risch algorithm),
некоторые интегралы можно найти в таблице интегралов,
при многократном интегрировании можно использовать дополнительную технику, для примера см. двойной интеграл и полярные координаты, Якобиан и теорема Стокса,
вычислительные пакеты помогают автоматизировать некоторые вышеприведённые символические операции, что очень удобно, когда алгебраические вычисления становятся слишком громоздкими,
если функция не имеет элементарной первообразной (как, например, $\exp\left(x^2\right)$ ), её интеграл может быть вычислен приближённо с помощью численного интегрирования.

Другие определения

Это определение является наиболее распространенным, но встречаются и другие, в которых ослаблены требования существования всюду конечной F' и выполнения всюду равенства F'(x) = f(x), иногда в определении используют обобщения производной.

Ссылки

Интересные примеры нахождения неопределенных интегралов

См. также

Таблица первообразных

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Неопределенный интеграл" в других словарях:

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ — см. Интегральное исчисление … Большой Энциклопедический словарь
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ — (indefinite integral) Функция, первая производная (first derivative) которой равна данной функции. Если g(x) является производной от f(x), то f(x)+k (где k – произвольно выбранная константа) является неопределенным интегралом от g(x). Это… … Экономический словарь
неопределенный интеграл — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN indefinite integral … Справочник технического переводчика
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ — интеграл от заданной функции одного переменного, определенной на нек ром промежутке совокупность всех первообразных данной функции на этом промежутке. Если функция f определена на нек ром промежутке числовой оси и F нек рая ее первообразная на ,… … Математическая энциклопедия
ИНТЕГРАЛ — (integral) Функция, первая производная (first derivative) которой равна другой функции. Если f(х) является первой производной от g(x), то, следовательно, g(x) является интегралом f(х) и, таким образом, h(x)=g(x)+k, где k – произвольно выбранная… … Экономический словарь
ИНТЕГРАЛ — одно из центральных понятий математич. анализа и всей математики, возникновение к рого связано с двумя задачами: о восстановлении функции по ее производной (напр., с задачей об отыскании закона движения материальной точки вдоль прямой по… … Математическая энциклопедия
Интеграл — Определённый интеграл как площадь фигуры У этого термина существуют и другие значения, см. Интеграл (значения). Интеграл функции … Википедия
интеграл — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] интеграл Есть два различных понятия — неопределенный И. и определенный И. Говорят, что функция f(x) имеет … Справочник технического переводчика
Интеграл — [integral]. Есть два различных понятия неопределенный И. и определенный И. Говорят, что функция f(x) имеет неопределенный И. ∫f(x)dx, если существует такая функция F(x), что ее производная dF(x)/dx равна исходной функции f(x). Функция F(x)… … Экономико-математический словарь
ИНТЕГРАЛ — (вово лат., от лат. integer ценный). В математике количество, дифференциал которого равен данной величине. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. интеграл (лат. integer целый) лет. 1) неопределенный и. от… … Словарь иностранных слов русского языка