Альтернативная алгебра | это... Что такое Альтернативная алгебра? (original) (raw)

Альтернативная алгебра — линейная алгебра, которая является альтернативным кольцом.[1]

Альтернативная алгебра — иногда под альтернативной алгеброй понимают алгебру в которой умножение может быть не ассоциативно, требуется только альтернативность:[источник не указан 474 дня]

x(xy) = (xx)y

(yx)x = y(xx)

для всех х и y в алгебре. Каждая ассоциативная алгебра, очевидно, альтернативна, однако существуют и строго неассоциативные алгебры, примером которых являются октавы. Обобщение октав, седенионы, не обладают также и свойством альтернативности.

Ассоциатор

Question book-4.svg В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.Эта отметка установлена 31 августа 2011.

С использованием ассоциатора

[x,y,z] = (xy)z - x(yz)

определяющие альтернативную алгебру тождества примут вид

[x,x,y] = 0

[y,x,x] = 0

для любых элементов x и y. Отсюда, в силу полилинейности ассоциатора, несложно получить, что

[x,y,z] + [y,x,z] = 0

[x,y,z] + [x,z,y] = 0

Таким образом, в альтернативной алгебре ассоциатор является альтернативной операцией:

[x,y,z] = \mathrm{sgn}\,\sigma [\sigma(x),\sigma(y),\sigma(z)]

где \sigma — перестановка элементов x,y,z, \mathrm{sgn}\,\sigma — чётность этой перестановки. Верно и обратное: если ассоциатор альтернативен, то кольцо альтернативно. Именно из-за связи с альтернативностью ассоциатора альтернативные кольца получили такое название.

Аналогично можно показать, что для альтернативности ассоциатора достаточно выполнения любых двух из следующих тождеств:

x(xy) = (xx)y

(yx)x = y(xx)

(xy)x = x(yx)

откуда сразу следует третье из тождеств.

Примечания

  1. ↑ «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 2. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.

Литература