Магнитогидродинамика | это... Что такое Магнитогидродинамика? (original) (raw)

Механика сплошных сред
BernoullisLawDerivationDiagram.svg
Сплошная среда Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса Теория упругости Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение диффузии · Закон Гука Известные учёные Ньютон · Гук Бернулли · Эйлер · Коши · Стокс · Навье
См. также «Физический портал»

Магнитогидродинамика — физическая дисциплина, возникшая на пересечении гидродинамики и электродинамики сплошной среды. Предметом её изучения является динамика проводящей жидкости (газа) в магнитном поле. Примерами таких сред являются: различного рода плазма, жидкие металлы, солёная вода.

Пионером исследований в области теории магнитогидродинамики признан Ханнес Альфвен, удостоившийся за эти работы Нобелевской премии в 1970.

Уравнения магнитной гидродинамики

Полная система уравнений нерелятивистской магнитной гидродинамики проводящей жидкости имеет вид:

![ \begin{cases} \rho\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho (\vec v, \nabla) \vec v =- \nabla p - \frac{1}{4\pi}[\vec H \operatorname{rot} \vec H] + \eta \Delta \vec v + \left(\frac 13 \eta + \zeta\right)\nabla \operatorname{div}\vec v \ p=p(\rho) \ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \rho \vec v=0 \

\frac{\partial \vec H}{\partial t} = - \frac {1}{\sigma} \frac{c^2}{4\pi} \operatorname{rot} \left[\nabla \times \vec H\right] + \operatorname{rot} \left[\vec v \times \vec H\right] \ \nabla \cdot \vec H = 0

\end{cases} ](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/d/f4de28323199ae6e8eb600719d6d6459.png)

Здесь \ p — давление в среде, \ \rho — плотность, σ — проводимость жидкости, η — сдвиговая вязкость, ζ — вторая вязкость (объемная вязкость) а \vec v — поле скоростей её элементов. \vec H — напряжённость магнитного поля.

Эта система содержит 8 уравнений и позволяет определить 8 неизвестных \ p, \rho, \vec H, \vec v при наличии заданных начальных и граничных условий.

Если воспользоваться следующими приближениями (бездиссипативный предел):

  1. \sigma \to \infty
  2. \eta = 0 ,\quad \zeta =0

то система уравнений МГД запишется в более простом виде:

![ \begin{cases} \rho\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho (\vec v, \nabla) \vec v =- \nabla p - \frac{1}{4\pi}[\vec H \operatorname{rot} \vec H] \ p=p(\rho) \ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \rho \vec v=0 \

\frac{\partial \vec H}{\partial t} = \operatorname{rot} \left[\vec v \times \vec H\right] \ \nabla \cdot \vec H = 0

\end{cases} ](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/c/6bc29917688f120540c684c304de4faa.png)

Приложения

Вывод уравнений МГД из уравнений Максвелла и гидродинамики

Запишем систему уравнений Максвелла в системе СГС.

\begin{cases} \nabla \times \vec E = - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} \\ \nabla \times \vec H = \frac 1c \frac{\partial \vec E}{\partial t} + \frac {4 \pi}{c} \vec j\\ \nabla \cdot \vec H = 0\\ \nabla \cdot \vec E = 0 \end{cases}

Будем исходить из следующих предположений:

  1. Магнитная проницаемость μ = 1
  2. Нет электрических зарядов ρ = 0
  3. Закон Ома имеет вид: \vec j = \sigma \vec E + \frac {\sigma}{c} \vec v \times \vec H

Ограничемся нерелятивистским случаем ( v \ll c ), т.е \left| \nabla \times \vec H \right| \gg \left| \frac 1c \vec E \right|

Обоснование нерелятивистского приближения.

Покажем, что v \ll c эквивалентно \left| \nabla \times \vec H \right| \gg \left| \frac 1c \frac{\partial \vec E}{\partial t} \right|

\left| \nabla \times \nabla \times \vec H \right| \gg \left| \frac 1c \nabla \times \frac{\partial \vec E}{\partial t} \right| = \frac{1}{c^2} \left| \frac{\partial^2 \vec H}{\partial t^2} \right|

Оценим это выражение:

\frac{H}{L^2} \gg \frac{1}{c^2}\frac{H}{\tau^2}

L — характерная длина

τ — характерное время

Это приводит нас к следующем соотношению:

c^2 \gg \frac{L^2}{\tau^2} = v^2

v \ll c

Т.е. характерная скорость в системе должна быть много меньше скорости света.

Уравнения Максвелла в этом приближении запишутся следующим образом:

\begin{cases} \nabla \times \vec E = - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} \\ \nabla \times \vec H = \frac {4 \pi}{c} \vec j\\ \end{cases}

Выразив из закона Ома \vec E и подставим его в первое уравнение:

- \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \nabla \times \left(\frac {1}{\sigma} \vec j - \frac 1c \vec v \times \vec H\right)

Подставим в это уравнение ток из второго уравнения Максвелла и получим:

- \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \frac {1}{\sigma} \frac{c}{4\pi} \nabla \times \left[\nabla \times \vec H\right] - \frac 1c \nabla \times \left[\vec v \times \vec H\right]

В пределе идеальной проводящей жидкости \sigma \to \infty получаем:

\frac{\partial \vec H}{\partial t} = \nabla \times \left[\vec v \times \vec H\right]

Для связи с гидродинамикой в уравнение Навье — Стокса добавляется член, отвечающий за силу Ампера действующую на токи со стороны магнитного поля (ток выражается из второго уравнения Максвелла через напряженность магнитного поля):

\vec f = \frac 1c \left[ \vec j \times \vec H \right] = - \frac{1}{4 \pi} \left[ \vec H\times \operatorname{rot}\vec H \right]

См. также

Литература

Ссылки