Эрмитов оператор | это... Что такое Эрмитов оператор? (original) (raw)

В математике оператор в комплексном или действительном гильбертовом пространстве $\mathfrak H$ называется эрмитовым, симметрическим, если он удовлетворяет равенству (Ax,y)=(x,Ay) для всех x,y из области определения . Здесь и далее полагается, что (x, y) — скалярное произведение в $\mathfrak H$ . Название дано в честь французского математика Шарля Эрмита.

Оператор в $\mathfrak H$ называется самосопряжённым, или гипермаксимальным эрмитовым, если он совпадает со своим сопряжённым.

Самосопряжённый оператор является симметрическим; обратное, вообще говоря, не верно. Для непрерывных операторов, определённых на всём пространстве, понятия симметрический и самосопряжённый совпадают.

Свойства

1. Спектр (множество собственных чисел) самосопряжённого оператора является вещественным.

Доказательство

Для всякого собственного значения $\lambda$ по определению верно $A\left( x \right) = \lambda x$ . Следовательно, по определению самосопряжённого преобразования равны следующие выражения:

$\left( {A\left( x \right),x} \right) = \left( {\lambda x,x} \right) = \lambda \left( {x,x} \right)$

$\left( {x,A\left( x \right)} \right) = \left( {x,\lambda x} \right) = \overline \lambda \left( {x,x} \right)$ ,

откуда $\lambda = \overline \lambda$ — число $\lambda$ вещественное.

2. В конечномерных пространствах матрица самосопряжённого оператора является эрмитовой.

3. У эрмитовой матрицы всегда существует ортонормированный базис из собственных векторов — собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство

Лемма 1. Собственные подпространства самосопряжённого преобразования попарно ортогональны.

Доказательство леммы 1: Имеются два различных собственных значения $\lambda$ и $\mu$ . Соответственно для векторов и из соответствующих им собственных подпространств выполняется $A\left( x \right) = \lambda x$ и $A\left( y \right) = \mu y$ . Отсюда $\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {\lambda x,y} \right) = \lambda \left( {x,y} \right)$ равно $\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \left( {x,\mu y} \right) = \overline \mu \left( {x,y} \right)$ . Но собственные значения самосопряжённого преобразования вещественны, можно из последнего выражения вынести $\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \mu \left( {x,y} \right)$ . Таким образом, по определению самосопряжённого преобразования можно получить $\left( {\lambda - \mu } \right)\left( {x,y} \right) = 0$ , откуда при различности собственных значений $\lambda \ne \mu$ ясно, что $\left( {x,y} \right) = 0$ , что и требовалось доказать.

Лемма 2. Если подпространство инвариантно относительно самосопряжённого преобразования , то ортогональное дополнение этого подпространства также инвариантно относительно .

Доказательство леммы 2: Известно, что образ любого вектора , принадлежащего подпространству , лежит в нём. Следовательно, для любого вектора $y \in \left( {E'} \right)^ \bot$ выполняется $\left( {A\left( x \right),y} \right) = 0$ . Так как преобразование самосопряжённое, то отсюда следует, что $\left( {x,A\left( y \right)} \right) = 0$ , то есть образ любого вектора из $\left( {E'} \right)^ \bot$ принадлежит $\left( {E'} \right)^ \bot$ , что и означает, что подпространство $\left( {E'} \right)^ \bot$ инвариантно относительно преобразования A, что и требовалось доказать.

Доказательство свойства 3:

Для оператора R в n-мерном пространстве существует по крайней мере одно собственное значение $\lambda_1$ . По свойству 1 это собственное значение вещественно. Можно найти отвечающий ему собственный вектор е1. Без ограничения общности можно считать, что |e_1| = 1 . Если п=1, то доказательство завершено.

Рассмотрим Е1 - линейную оболочку элемента е1, являющуюся одномерным инвариантным собственным подпространством R. Пусть Еn-1 - ортогональное дополнение к Е . Тогда по лемме 2 Еn-1 инвариантно относительно рассматриваемого оператора. Рассмотрим его теперь как R', как действующий только в Еn-1 . Тогда очевидно, что он будет самосопряженным оператором, заданным в Еn-1 , поскольку Еn-1 инвариантно относительно R по лемме 2 и, кроме того, для $\forall$ х,у $\in$ Еn : (Rx,y) = (x,Ry), в том числе и для $\forall$ х,у $\in$ Еn-1.

Применяя изложенные выше рассуждения, найдем новое собственное значение $\lambda_2$ и соответствующий ему собственный вектор e_2 . Без ограничения общности можно считать, что |e_2| = 1 . При этом $\lambda_2$ может случайно совпасть с $\lambda_1$ , однако, из построения ясно, что (e_1, e_2) = 0 . Если п=2, то доказательство завершено. Иначе рассмотрим Е - линейную оболочку ${(e_1, e_2)}$ и ее ортогональное дополнение Еn-2. Найдём новое собственное значение $\lambda_3$ и соответствующий ему собственный вектор e_3 и т.д.

Аналогичные рассуждения проводим до исчерпания Еn .

Доказательство завершено.

Матрицы

Матрицей, эрмитово сопряжённой к данной, называют матрицу $\frac{}{}A^\dagger,$ получаемую из исходной матрицы $\frac{}{}A$ путем её транспонирования и перехода к комплексно сопряжённой, то есть $\frac{}{}(A^\dagger)_{ij}=A^*_{ji}.$ Матрицу, равную своему эрмитовому сопряжению, называют эрмитовой, или самосопряжённой: $\frac{}{} A^\dagger = A.$

Применение

Эрмитовы операторы играют важную роль в квантовой механике, где с их помощью представляют наблюдаемые физические величины, см. Принцип неопределённости Гейзенберга.

См. также

Сопряжённый оператор