Размерность Минковского | это... Что такое Размерность Минковского? (original) (raw)

Размерность Минковского или грубая размерность ограниченного множества в метрическом пространстве равна

$\lim\limits_{\varepsilon\to0}\frac{\ln(N_\varepsilon)}{-\ln(\varepsilon)}$ ,

где $N_\varepsilon$ — минимальное число множеств диаметра $\varepsilon$ , которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.

Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.

Примеры

размерность конечного множества равна нулю, так как для него $\rho(n)$ не превосходит количества элементов в нем.
размерность отрезка равна 1, так как необходимо $\lceil a/\epsilon\rceil$ отрезков длины $\epsilon$ , чтобы покрыть отрезок длины . Таким образом,
$\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln(N_\epsilon)}{-\ln(\epsilon)}=\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln a-\ln\epsilon}{-\ln\epsilon}=1$ ,
размерность квадрата равна 2, так как число квадратиков с диагональю , необходимых, чтобы покрыть квадрат со стороной , ведет себя примерно как .
размерность фрактального множества может быть дробным числом. Так, размерность кривой Коха равна $\ln4/\ln3$ .

Более подробно

Неформальное рассуждение, показывающее это, таково. Отрезок можно разбить на 2 части, подобные исходному отрезку с коэффициентом 1/2. Чтобы покрыть отрезок множествами диаметра 1/n , нужно покрыть каждую из половин такими множествами. Но для половины их нужно столько же, сколько для всего отрезка множеств диаметра 2/n . Поэтому для отрезка имеем $\rho(n)\approx 2\rho(n/2)$ . То есть, при увеличении в два раза $\rho(n)$ увеличивается тоже в два раза. Иными словами, $\rho(n)$ — линейная функция.

Для квадрата аналогичное рассуждение дает $\rho(n)\approx 4\rho(n/2)$ . То есть, при увеличении в два раза $\rho(n)$ увеличивается в 4 раза. Иными словами, $\rho(n)$ — квадратичная функция.

Наконец, кривая Коха состоит из 4 частей, каждая из которых подобна исходной кривой с коэффициентом 1/3. Поэтому для неё $\rho(n)\approx 4\rho(n/3)$ . Подставляя n=3^k , получаем $\rho(3^k)\approx 4\rho(3^{k-1})\approx 4^2\rho(3^{k-2})\approx \dots\approx 4^k\rho(1)=4^{\log_3 n}\rho(1)=n^{\ln4/ln3}\rho(1)$ . Отсюда следует, что размерность равна $\ln4/ln3$ .

Формально: пусть n - шаг фрактала, на n-ом шаге у нас будет $4^{n}$ равных отрезков, длиной $3^{-n}$ . Возьмём за ε отрезок длиной $3^{-n}$ , тогда чтобы покрыть всю кривую Коха, нам понадобится $4^{n}$ отрезков. Для того, чтобы выполнялось условие ε→0, устремим n→ $\infty$ . Получим

$\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln(N_\epsilon)}{-\ln(\epsilon)}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln(4^{n})}{-\ln(3^{-n})}=\frac{\ln4}{\ln3}$

размерность Минковского множества $\{0,1,\frac12,\frac13,\frac14,\dots\}$ равна 1/2.

Свойства

Размерность Минковского конечного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В отличие от размерности Хаусдорфа, это неверно для счётного объединения. Например, множество рациональных чисел между 0 и 1 имеет размерность Минковского 1, хотя является счётным объединением одноэлементных множеств (размерность каждого из которых равна 0). Пример замкнутого счётного множества с ненулевой размерностью Минковского приведён выше.
Нижняя размерность Минковского любого множества больше либо равна его размерности Хаусдорфа.
Размерность Минковского любого множества равна размерности Минковского его замыкания. Поэтому имеет смысл говорить лишь о размерностях Минковского замкнутых множеств.

См. также

Литература

Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000