Размерность Хаусдорфа | это... Что такое Размерность Хаусдорфа? (original) (raw)

Размерность Хаусдорфа — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.

Определение

Определение размерности Хаусдорфа состоит из нескольких шагов. Пусть $\Omega$ — ограниченное множество в метрическом пространстве .

$\varepsilon$ -покрытия

Пусть $\varepsilon>0$ . Не более чем счётный набор $\{\omega_i\}_{i\in I}$ подмножеств пространства будем называть $\varepsilon$ -покрытием множества $\Omega$ , если выполнены следующие два свойства:

$\alpha$ -мера Хаусдорфа

Пусть $\alpha>0$ . Пусть $\Theta=\{\omega_i\}_{i\in I}$ — покрытие множества $\Omega$ . Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия: $F_\alpha(\Theta):=\sum\limits_{i\in I} |\omega_i|^\alpha$ .

Обозначим через $M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega)$ «минимальный размер» ${\varepsilon}$ -покрытия множества $\Omega$ : $M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega) := \inf(F_\alpha(\Theta))$ , где инфимум берётся по всем $\varepsilon$ -покрытиям множества $\Omega$ .

Очевидно, что функция $M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega)$ (нестрого) возрастает при уменьшении $\varepsilon$ , поскольку при уменьшении $\varepsilon$ мы только сжимаем множество возможных $\varepsilon$ -покрытий. Следовательно, у неё есть конечный или бесконечный предел при $\varepsilon\rightarrow 0+$ :

$M_{\alpha}(\Omega)=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0+}M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega)$ .

Величина $M_{\alpha}(\Omega)$ называется $\alpha$ -мерой Хаусдорфа множества $\Omega$ .

Свойства $\alpha$ -меры Хаусдорфа

Значение $M_{\alpha_0}(\Omega)$ может быть нулевым, конечным положительным или бесконечным.

Определение размерности Хаусдорфа

Размерностью Хаусдорфа множества $\Omega$ называется число $\alpha_0$ из предыдущего пункта.

Примеры

Для самоподобных множеств размерность Хаусдорфа может быть вычислена явно. Неформально говоря, если множество разбивается на частей, подобных исходному множеству с коэффициентами $r_1,r_2,\dots,r_n$ , то его размерность является решением уравнения $r_1^s+r_2^s+\dots+r_n^s = 1$ . Например,

Свойства размерности Хаусдорфа

Размерность Хаусдорфа любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского.
Размерность Хаусдорфа не более чем счётного объединения множеств равна макcимуму из их размерностей. В частности, добавление счётного множества к любому множеству не меняет его размерности.

См. также

Литература

Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7