Дифракция Френеля | это... Что такое Дифракция Френеля? (original) (raw)
Схема эксперимента дифракции на круглом отверстии
Дифра́кция Френе́ля — дифракционная картина, которая наблюдается на небольшом расстоянии от препятствия, по условиям, когда основной вклад в интерференционную картину дают границы экрана.
На рисунке схематично изображён (слева) непрозрачный экран с круглым отверстием (апертура), слева от которого расположен источник света. Изображение фиксируется на другом экране - справа. Вследствие дифракции свет, проходящий через отверстие, расходится, поэтому область, которая была затемнена по законам геометрической оптики, будет частично освещённой. В области, которая при прямолинейном распространении света была бы освещённой, наблюдаются колебания интенсивности освещения в виде концентрических колец.
Дифракционная картина для дифракции Френеля зависит от расстояния между экранами и от расположения источников света. Её можно рассчитать, считая, что каждая точка на границе апертуры излучает сферическую волну по принципу Гюйгенса. В точке наблюдения (занимаемое вторым экраном) волны или усиливают друг друга, или гасятся в зависимости от разности хода.
Содержание
Интеграл Френеля
В скалярной теории дифракции распределение электрического поля дифрагирующего света в точке (x,y,z) задаётся выражением Релея-Зоммерфельда:
где , — мнимая единица, и — косинус угла между направлениями z и r. В аналитическом виде этот интеграл представим, только для простейших геометрий отверстий, поэтому он вычисляется обычно численными методами.
Аппроксимация Френеля
Главная трудность при вычислении интеграла представляет собой выражение для r. Во-первых, упростим вычисления, сделав замену переменных:
Подставляя это выражение вместо r, найдём:
Воспользуемся разложением Тейлора в ряд
и выразим r в виде
Если мы рассмотрим все члены разложения это будет точным выражением.[1]. Подставим это выражение в аргумент экспоненциальной функции под интегралом; ключевую роль в приближении Френеля играет пренебрежение третьего члена в разложении, который предполагается малым. Чтобы это было возможным, он должен слабо влиять на показатель степени. Другими словами, он должен быть намного меньше чем период показателя экспоненты, то есть :
Выражая k в терминах длины волны,
получим следующее соотношение:
Умножая обе стороны на , получим
или, подставляя ранее полученное выражение для ρ2,
Если это условие выполняется для всех значений x, x' , y и y' , тогда мы можем пренебречь третьим членом в разложении Тейлора. Более того, если третий член мал, то все последующие слагаемые более высоких порядков тоже малы и ими можно пренебречь. Тогда можно аппроксимировать выражение используя два члена разложения:
Это выражение называется приближением Френеля, а неравенство полученное ранее есть условие применимости этого приближения.
Дифракция Френеля
Условие применимости достаточно слабо, и позволяет все характерные размеры взять как сравнимые величины, если апертура много меньше, чем длина пути. К тому же так как нас интересует только малая область недалеко от источника величины x и y много меньше чем z, предположим , что означает и r в знаменателе можно аппроксимировать выражением .
В противоположность дифракции Фраунгофера, дифракция Френеля должна учитывать кривизну волнового фронта, для того чтобы правильно учесть относительные фазы интерферирующих волн.
Электрическое поле для дифракции Френеля в точке (x,y,z) дано в виде:
Это - интеграл дифракции Френеля; он означает, что, если приближение Френеля действительно, распространяющееся поле - сферическая[источник не указан 1309 дней] волна, начинающаяся в апертуре и движущаяся вдоль z. Интеграл модулирует амплитуду и фазу сферической волны. Аналитическое решение этого выражения возможно только в редких случаях. Для дальнейшего упрощения, действительного только для намного больших расстояний от источника дифракции, см. дифракция Фраунгофера.
Примечания
- ↑ Приближение однако было в предыдущем шаге, когда мы предположили, что реальная волна. В действительности не существует действительного решения векторного уравнения Гельмгольца, только для скалярного. См. скалярное волновое приближение
Литература
- Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.. — Т. IV. Оптика.
Внешние ссылки
См. также
- Дифракция Фраунгофера
- Интеграл Кирхгофа
- Интегралы Френеля