Сфера | это... Что такое Сфера? (original) (raw)

У этого термина существуют и другие значения, см. Сфера (значения).

сфера (каркасная проекция)

	сфера в Викисловаре?
	Spheres на Викискладе?

Сфе́ра (греч. σφαῖρα — мяч) — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учётом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252.96 кв. градусов.

Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностью шара.

Объёмы цилиндра, вписанной в него сферы, касающейся его основания, и двух конусов, имеющих общую вершину в центре основания и основания, равные основаниям цилиндра, находятся в соотношении 1:2:3 [1]

Содержание

1 Основные геометрические формулы
2 Сфера в трёхмерном пространстве
3 Геометрия на сфере
- 3.1 Расстояние между двумя точками на сфере
4 _n_-мерная сфера
5 См. также
6 Примечания

Основные геометрические формулы

Площадь сферы

$S = \ 4\pi r^2 = \pi d^2.$

Объем шара, ограниченного сферой

$V = \frac{4}{3} \pi r^3.$

Площадь сегмента сферы

$s = \ 2 \pi r H = 2 \pi r^2 ( 1 - \cos ( \alpha ) )$ , где H — высота сегмента, а $\alpha$ — зенитный угол

Сфера в трёхмерном пространстве

Уравнение

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = R^2,

где (x_0,y_0,z_0) — координаты центра сферы, — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке (x_0,y_0,z_0) :

$\begin{cases} x = x_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \cos \phi,\\ y = y_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \sin \phi,\\ z = z_0 + R \cdot \cos \theta,\\ \end{cases}$

где $\theta \in [- \pi/2, \pi/2]$ и ![\phi \in 0, 2\pi).

Геометрия на сфере

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие круги являются геодезическими линиями на сфере; любые два из них пересекаются в двух точках.

Расстояние между двумя точками на сфере

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так:

$L = R \cdot \arccos ( \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).$

Однако, если угол $\theta$ задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая:

$L = R \cdot \arccos ( \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 + \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).$

В этом случае $\theta_1$ и $\theta_2$ называются широтами, а $\phi_1$ и $\phi_2$ долготами.

_n_-мерная сфера

В общем случае уравнение (_n_-1)-мерной сферы (в _n_-мерном евклидовом пространстве) имеет вид:

$\sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2=r^2,$

где (a_1,...,a_n) — центр сферы, а — радиус.

Пересечением двух _n_-мерных сфер является _n-1_-мерная сфера, лежащая на радикальной гиперплоскости этих сфер.

В _n_-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более n+1 сфер.

_n_-мерная инверсия переводит _n-1_-мерную сферу в _n-1_-мерную сферу или гиперплоскость.

См. также

Примечания

↑ [100 человек, которые изменили ход истории. Еженедельное издание. Архимед (Выпуск № 12, 2008). Блестящий ум]