Координаты Борна | это... Что такое Координаты Борна? (original) (raw)

Координаты Борна в специальной теории относительности — система координат, применяемая для описания вращающейся окружности или (в более общем смысле) диска.

Содержание

Вращение окружности в специальной теории относительности

В неподвижной системе отсчёта окружность описывается двумя координатами (T,\,\Phi), в которых метрика имеет вид:

ds^2 = dT^2 - R^2\,d\Phi^2

(R — радиус окружности, скорость света полагается равной единице).

Вращение окружности описывается формулой

\Phi = \varphi + \omega T,

где \Phi — угловая координата в пространстве, \varphi — положение точки на окружности, \omega — круговая частота, а T — время неподвижной системы отсчёта.

Если мы рассмотрим одну точку окружности (то есть зафиксируем \varphi), то её мировая линия будут представлять собой винтовую линию. Собственное время точек окружности определяется как

\sqrt{1 - \omega^2 R^2}\ T.

Координатами Борна на окружности называется система координат (T,\;\varphi). Эти две координаты не являются ортогональными.

Метрика будет выглядеть как

ds^2 = \left( 1- \omega^2 \, R^2 \right) \, dT^2 - 2 \, \omega \, R^2 \, dT \, d\varphi - R^2 \, d\varphi^2.

Вращение диска в специальной теории относительности

Если рассмотреть равномерно вращающийся, как единое целое, диск (то есть круг), то добавляется третья координата: r.

При этом \omega по-прежнему постоянно.

В таком случае множители будут зависеть от радиуса r.

Метрика будет выглядеть как

ds^2 = \left( 1- \omega^2 \, r^2 \right) \, dT^2 - 2 \, \omega \, r^2 \, dT \, d\omega - dr^2 - r^2 \, d\varphi^2.

На рисунке видно, как с возрастанием r и приближением линейной скорости вращения к световой система из двух координат (T,\;\varphi) становятся всё менее похожа на ортогональную.

Скорость света относительно «времени» T по ходу вращения уменьшается, а против вращения — возрастает.

Разумеется, радиус диска не может превосходить \frac c\omega, поскольку на этом удалении от оси вращения наша вращающаяся система отсчёта разгоняется до световой скорости.

Определение расстояний и времён

Проблемы с вращающимися координатами

Вращающаяся система отсчёта не является инерциальной и вызывает много проблем даже при поверхностном рассмотрении.

Как было показано, две координаты (T,\;\varphi) не ортогональны даже на одной окружности, причём это неустранимый недостаток — если мы синхронизуем время сразу по всей окружности с помощью скорости света, то система отсчёта не будет вращаться, а если отказаться от T, синхронизуя время лишь на куске окружности, то единая временная координата «не склеится»[1]. На диске дело обстоит ещё хуже — часы не синхронизуются даже локально (см. эффект Саньяка).

К тому же, при исчислении собственного времени координату T приходится умножать на коэффициент уже не постоянный (как на окружности), а переменный, зависящий от r. Диск, оставаясь твёрдым, имеет разную скорость течения времени в зависимости от расстояния до оси вращения.

Из-за проблем со временем не совсем понятно как определять расстояние — некоторые определения не приводят к симметричной функции расстояния между двумя точками диска. А не зная расстояний, мы не можем проверить, что диск вращается как твёрдое тело.

Метрика Ланжевена — Ландау — Лифшица

Тем не менее, оказывается возможным корректно определить расстояние на вращающемся диске в смысле римановой метрики.

То есть, естественная геометрия вращающегося диска не является евклидовой.

См. также

Примечания

  1. ↑ Строго говоря, из этого следует, что мы не можем идеально синхронизовать часы даже на всей поверхности Земли, так как планета вращается. Эффект разницы скорости света с востока на запад и с запада на восток относительно земного времени подтверждается сверхточными измерениями.

Литература