Парадокс Смейла | это... Что такое Парадокс Смейла? (original) (raw)
Парадокс Смейла. Одна из промежуточных конфигураций, Поверхность Морина (англ.)
Парадокс Смейла — утверждение в дифференциальной топологии, что сферу в трёхмерном пространстве можно вывернуть наизнанку в классе погружений, то есть с возможными самопересечениями, но без перегибов. Другими словами, образ сферы в каждый момент деформации должен оставаться гладким, то есть дифференцируемым.
Парадокс Смейла — это вовсе не логический парадокс, это теорема, только весьма контринтуитивная. Более точно:
Довольно тяжело представить конкретный пример такого семейства погружений, хотя существует множество иллюстраций и фильмов.[1][2] С другой стороны, гораздо проще доказать, что такое семейство существует, и это как раз сделал Смейл.
История
Этот парадокс был открыт Смейлом в 1958 году. Согласно легенде, когда Смейл попытался опубликовать эту теорему, он получил отзыв, который говорил, что утверждение очевидно неверно, так как в процессе такого «выворачивания» степень отображения Гаусса должна сохраняться. Действительно, степень отображения Гаусса должна сохраняться, в частности это показывает, что окружность нельзя «вывернуть» в плоскости, но степени отображений Гаусса у 
и у 
в 
обе равны 1. Более того, степень любого вложения 
равна 1.
Вариации и обобщения
- Выворачивание сферы можно осуществить также в классе
-гладких изометрических погружений.[3]
Литература
- Smale, Stephen A classification of immersions of the two-sphere. Trans. Amer. Math. Soc. 90 1958 281—290.
- Франсис, Дж. Книжка с картинками по топологии, как рисовать математические картинки. Москва:Мир, 1991. Глава 6. Выворачивания сферы наизнанку.