Пфаффиан | это... Что такое Пфаффиан? (original) (raw)

Пфаффианом кососимметричной матрицы называется некоторый многочлен от её элементов, квадрат которого равен определителю этой матрицы. Как и определитель, пфаффиан является ненулевым только для матриц размера 2n\times 2n, и в этом случае его степень равна n.

Содержание

Примеры

\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{bmatrix}=a.

\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b & -d & 0& f \\-c & -e & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.

\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -\lambda_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\lambda_n & 0\end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.

Определение

Пусть \Pi обозначает множество всех разбиений множества \{1, 2,\dots, 2n\} на неупорядоченные пары (всего существует (2n-1)!! таких разбиений). Разбиение \alpha\in \Pi может быть записано

\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}

где i_k<j_k и i_1 < i_2 < \cdots < i_n. Пусть

\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}

обозначает соответствующую перестановку, а \mbox{sgn}(\alpha) — знак перестановки \pi. Нетрудно видеть, что \mbox{sgn}(\alpha) не зависит от выбора \pi.

Пусть A = \{a_{ij}\} обозначает 2n\times 2n кососимметричную матрицу. Для разбиения \alpha определим

A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.

Теперь можно определить пфаффиан матрицы A как

\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.

Пфаффиан кососимметричной матрицы размера n\times n для нечётного n равен нулю по определению.

Альтернативное определение

Для 2n\times 2n кососимметричной матрицы A = \{a_{ij}\} рассмотрим бивектор:

\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j.

где \{e_1, e_2, \dots , e_{2n}\} есть стандартный базис в \mathbb R^{2n}. Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:

\frac{1}{n!}\omega^{\wedge n} = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\dots\wedge e_{2n},

где \omega^{\wedge n} обозначает внешнее произведение n копий \omega.

Свойства

Для 2n\times 2n кососимметричной матрицы A и для произвольной 2n\times 2n матрицы B:

\mbox{Pf}\begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}=\mbox{Pf}(A_1)\mbox{Pf}(A_2).

\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & M \\ -M^T & 0 \end{bmatrix} = (-1)^{n(n-1)/2}\det M.

История

Термин «пфаффиан» был введён Кэли[1] и назван в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Примечания

  1. ↑ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics

Литература