Кубика | это... Что такое Кубика? (original) (raw)
Кубика _y_² = _x_² · (x + 1). Параметризация: t → (_t_2 − 1, t · (_t_2 − 1))
Набор кубик
Ку́бика — плоская алгебраическая кривая 3-го порядка, то есть множество точек плоскости (проективной, аффинной, евклидовой), однородные координаты которых (относительно соответственно проективной, аффинной или декартовой системы координат) удовлетворяют уравнению третьей степени.
Классификация
Первая классификация кубик была дана Ньютоном в 1704 году[1].
Ньютон доказал, что для любой кубики можно подобрать систему координат, в которой она будет иметь один из следующих видов:
Далее Ньютон поделил все кривые на классы, роды и типы, пропустив при этом однако 6 типов. Полную классификацию дал Плюккер[2].
По состоянию на 2008 год, аналогичной классификации для кривых _n_-го порядка не найдено, эта задача составляет 16-ю проблему Гильберта.
Свойства
- Теорема Шаля. Даны 2 кубики
и 
, имеющие 9 общих точек. Если третья кубика С проходит через 8 из них, то она проходит и через девятую. - На кубике взяли точку , и провели из неё 2 касательных к кубике — одна касается кубики в точке , другая — в точке . Пусть площади сегментов, отсекаемых этими касательными от графика кубики, равны
и 
. Тогда 
[3]. - Известно, что некоторые кубики являются трисектрисами, то есть если на плоскости нарисован график такой кубики, и дан угол, то его можно разделить циркулем и линейкой на 3 равные части. Открытая проблема: любая ли кубика является трисектрисой?
- Максимально возможное число компонент связности у графика кубики в
есть 4. Например: у 
(график состоит из трёх удаляющихся на бесконечность кривых и одной изолированной точки). - Если прямая проходит через две точки перегиба кубики, то она проходит и через третью.
- На кубиках можно ввести сложение точек и умножение их на число, получив тем самым алгебраическую структуру, называемую эллиптической кривой[4][5].
- Прямая пересекает кубику в точках
. Касательные, восстановленные к кубике в точках , пересекают второй раз кубику в точках 
. Тогда точки также лежат на одной прямой[6][7].
Применения
- Кубические кривые применяются в языке PostScript, включая шрифты формата Type 1 (в TrueType используются только квадратичные кривые).
- Изучение кубик долгое время считалось примером чистой математики (не имеющей никакого прикладного применения и перспективы такового). Однако, в последние 20 лет XX века были придуманы криптографические алгоритмы, использующие глубокие свойства кубик, которые сегодня используются (в частности) при банковском шифровании, что дало толчок изучению свойств кубик, см. Эллиптическая криптография.
- Большое число замечательных точек треугольника складываются в несколько кубик[8].
- Морлей доказал известную теорему Морлея, изучая свойства кубик[9].
См. также
Примечания
- ↑ «Enumeratio linearum tertii ordinis» (имеется русский перевод «Перечисление кривых третьего порядка» в книге Д. Д. Мордухай-Болтовского «Исаак Ньютон. Математические работы», стр. 194—209, доступны on-line постранично на [1]).
- ↑ Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — М.: Физматгиз, 1961.
- ↑ Honsberger R. More Mathematical Morsels // Math. Assoc. Amer. — Washington, DC, 1991. — p. 114—118.
- ↑ Острик В. В., Цфасман М. А. Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые. — М.: МЦНМО, 2010. — 48 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-71-5
- ↑ Соловьев Ю. П. Рациональные точки на эллиптических кривых // Соросовский образовательный журнал. — 1997. — № 10. — С. 138—143.
- ↑ [2].
- ↑ См. также Weisstein, Eric W. Cubic Curve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld., [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11].
- ↑ См. [12] и [13].
- ↑ См. его работы [14].