Проективная плоскость | это... Что такое Проективная плоскость? (original) (raw)

Проективная пло́скость — двумерное проективное пространство. Проективная плоскость отличается важной ролью, которую играет т. н. аксиома Дезарга, в проективных пространствах больших размерностей являющаяся теоремой.

Проективная плоскость над телом K это множество прямых (одномерных подпространств) трёхмерного линейного пространства K^3. Данные прямые называются точками проективной плоскости. Проективная плоскость над телом K обычно обозначается K\mathrm{P}^2, например \R \mathrm{P}^2, \mathbb{C} \mathrm{P}^2, \mathbb{H} \mathrm{P}^2 и т. д..

Содержание

Классическая проективная плоскость

Классическая проективная плоскость П определяется следующими аксиомами. Первые четыре из них являются обязательными.

Дополнительными аксиомами являются следующие:

Для любой проективной плоскости над телом выполняются аксиомы П1-П4 и аксиома Дезарга П5. Обратно, если в плоскости П выполняется аксиома Дезарга П5, то она есть проективная плоскость над некоторым телом K.

Если выполняются аксиома Паппа П6 и аксиомы П1-П4, то выполняется и аксиома Дезарга П5. В этом случае П является проективной плоскостью над полем (то есть тело K коммутативно). Обратно, в любой проективной плоскости над полем выполняется аксиома Паппа.

Если выполняются аксиомы П1-П4 и аксиома Дезарга П5, то аксиома Фано П6 выполняется тогда и только тогда, когда П является проективной плоскостью над телом K характеристики ≠2.

Топология вещественной проективной плоскости

Проективная плоскость как квадрат со склеенными сторонами

Проективная плоскость как круг с приклеенным листом Мёбиуса

Представим вещественную проективную плоскость P²(R) как множество прямых в R³ . Её точки образуют пучок всех прямых, проходящих через начало координат. Построим единичную сферу. Тогда каждая наша прямая (точка P²(R)) пересекает сферу в двух противоположных точках: x и -x. Из этого легко получается другая модель. Отбросим верхнюю полусферу z > 0. Каждой точке на отброшенной полусфере соответствует точка на нижней полусфере, а диаметрально противоположные точки на экваториальной окружности нижней полусферы отождествляются. «Выпрямляя» полусферу получаем круг, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки граничной окружности. Круг гомеоморфен квадрату, противоположные стороны которого отождествляются (в направлении стрелок). Как показано на следующем рисунке этот квадрат гомеоморфен кругу D² с приклеенным листом Мёбиуса μ. Поэтому проективная плоскость неориентируема.

Триангуляция проективной плоскости

Группы гомологий проективной плоскости легко вычисляются: H0(P²) =Z , H1(P²)=Z2 и H2(P²)=0 , числа Бетти (ранги групп гомологий) равны соответственно b0=1, b0=0, b2=0 и эйлерова характеристика равна знакочередующейся сумме χ(P²)=b0-b1+b2=1 Можно вычислить эйлерову характеристику и непосредственно из триангуляции χ(P²) (см. рис. слева) — число вершин равно 6, ребер 15 и граней 10, значит χ(P²)=6-15+10=1.

Согласно известной теореме о классификации поверхностей среди всех компактных, связных, замкнутых гладких многообразий проективная плоскость однозначно определяется тем, что она неориентируема и её эйлерова характеристика равна 1.

Фундаментальная группа π1(P²)= Z2, высшие гомотопические группы соответствуют таковым для сферы πn(P²)=πn(S²) для n≥2.

Литература

См. также

Лист Мёбиуса