Поверхность второго порядка | это... Что такое Поверхность второго порядка? (original) (raw)

Поверхность второго порядкагеометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида


a_{11}x^2 + a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}xz+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0

в котором по крайней мере один из коэффициентов a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{23}, a_{13} отличен от нуля.

Содержание

Типы поверхностей второго порядка

Цилиндрические поверхности

Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей \vec{l}, если для любой точки M_0 этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей \vec{l}, целиком принадлежит поверхности S.

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S имеет уравнение f(x,y)=0, то S — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси OZ.

Кривая, задаваемая уравнением f(x,y)=0 в плоскости z=0, называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр: Параболический цилиндр: Гиперболический цилиндр:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\! y^2=2px\! \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\!=1
Cil.png Par.png Hip el.png
Пара совпавших прямых: Пара совпавших плоскостей: Пара пересекающихся плоскостей:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0\! y^2=0\! \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\!=0

Конические поверхности

Коническая поверхность.

Поверхность S называется конической поверхностью с вершиной в точке O, если для любой точки M_0 этой поверхности прямая, проходящая через M_0 и O, целиком принадлежит этой поверхности.

Функция F(x,y,z) называется однородной порядка m, если \forall t \in \mathbb{R}\;\forall x,y,z выполняется следующее: F(tx,ty,tz)=t^mF(x,y,z)\!

Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x,y,z)=0, где F(x,y,z) — однородная функция, то S — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность S задана функцией F(x,y,z), являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то S называется конической поверхностью второго порядка.

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\!

Поверхности вращения

Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M_0(x_0,y_0,z_0) этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z=z_0 с центром в (0,0,z_0) и радиусом r=\sqrt{x_0^2+y_0^2}, целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x^2+y^2,z)=0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ.

Эллипсоид: Однополостной гиперболоид: Двуполостной гиперболоид: Эллиптический параболоид:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\! \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\! \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\! \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2pz\!
Gnuplot ellipsoid.svg Hib com.png Hib sim.png El Par.png

В случае, если a=b\neq 0, перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

Эллиптический параболоид

Уравнение эллиптического параболоида:

\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 2pz

Если a=b то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы.

При сечении эллиптический параболоида плоскостью z=z_0 поверхность порождает эллипс.

При сечении эллиптический параболоида плоскостью x=x_0 или y=y_0 поверхность порождает параболу.

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид.

Уравнение гиперболического параболоида:

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2pz\!

При сечении гиперболического параболоида плоскостью z=z_0 поверхность порождает гиперболу.

При сечении гиперболического параболоида плоскостью x=x_0 или y=y_0 поверхность порождает параболу.

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Центральные поверхности

Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты \left(x_0,\;y_0\;z_0\right) можно найти решив систему уравнений:

\begin{cases} a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_{13}z_0 + a_{14} = 0 \\ a_{21}x_0 + a_{22}y_0 + a_{23}z_0 + a_{24} = 0 \\ a_{31}x_0 + a_{32}y_0 + a_{33}z_0 + a_{34} = 0 \end{cases}

Литература

См. также