Эллипс | это... Что такое Эллипс? (original) (raw)

Эллипс, его фокусы и главные оси

Эллипс как коническое сечение, его фокусы и директрисы, получаемые геометрически с помощью шаров Данделена.

Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις — опущение, недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F_1 и F_2 (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

|F_1M|+|F_2M|=2a, причем |F_1F_2|<2a.

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой.

Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость.

Содержание

1 Связанные определения
2 Свойства
3 Соотношения между элементами эллипса
4 Координатное представление
5 Длина дуги эллипса
- 5.1 Приближённые формулы для периметра
6 Площадь эллипса и его сегмента
7 Построение эллипса
8 См. также
9 Литература
10 Ссылки

Связанные определения

Проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2_a_ в вышеприведённом уравнении.
Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
Расстояния и от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
Расстояние $c=\frac{|F_1 F_2|}{2}$ называется фокальным расстоянием.
Величина $e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ называется эксцентриситетом.
Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
Радиус эллипса в данной точке (расстояние от его центра до данной точки) вычисляется по формуле $r=\frac{ab}{\sqrt{b^2 \cos^2\varphi + a^2 \sin^2\varphi}} = \frac{b}{\sqrt{1 - e^2 \cos^2\varphi}}$ , где $\varphi$ — угол между радиус-вектором данной точки и осью абсцисс.
Фокальным параметром $p=\frac{b^2}{a}$ называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: $k = \frac{b}{a}.$ Величина, равная $(1-k) = \frac{a-b}{a},$ называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением
Для каждого из фокусов существует прямая, называемая директрисой, такая, что отношение расстояния от произвольной точки эллипса до его фокуса к расстоянию от этой точки до данной прямой равно эксцентриситету эллипса. Весь эллипс лежит по ту же сторону от такой прямой, что и фокус. Уравнения директрис эллипса в каноническом виде записываются как $x = \pm\frac{p}{e\left(1+e\right)}$ для фокусов $\left(\mp\frac{p}{1+e},\,0\right)$ соответственно. Расстояние между фокусом и директрисой равно $\frac{p}{e}.$

Свойства

Оптические
- Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
- Свет от источника, находящегося вне любого фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
Если и — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой равен углу между этой касательной и прямой .
Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
Эволютой эллипса является астроида.
Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами.
Эксцентриситет эллипса равен отношению $e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\;\;\;(0 \leqslant e < 1).$ Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
Эллипс также можно описать как
- фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
- ортогональную проекцию окружности на плоскость.
- Пересечение плоскости и кругового цилиндра

Соотношения между элементами эллипса

Части эллипса (описание см. в разделе "Связанные определения")

$~\boldsymbol a$ — большая полуось;
$~\boldsymbol b$ — малая полуось;
$~\boldsymbol c$ — фокальный радиус (полурасстояние между фокусами);
$~\boldsymbol p$ — фокальный параметр;
$~\boldsymbol r_p$ — перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);
$~\boldsymbol r_a$ — апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

~a^2 = b^2 + c^2

$e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\;\;\;(0 \leqslant e < 1).$ .

$~p = \frac{b^2}{a}$

$~\boldsymbol a$	$~\boldsymbol b$	$~\boldsymbol c$	$~\boldsymbol p$	$~\boldsymbol {r_p}$	$~\boldsymbol {r_a}$
$~\boldsymbol a$ – большая полуось	$~\boldsymbol a$	$~a = \frac{b}{\sqrt{1-e^2}}$	$~a = \frac{c}{e}$	$~a = \frac{p}{1-e^2}$	$~a = \frac{r_p}{1-e}$	$~a = \frac{r_a}{1+e}$
$~\boldsymbol b$ – малая полуось	$~b = a \sqrt{1-e^2}$	$~\boldsymbol b$	$~b = \frac{c~\sqrt{1-e^2}}{e}$	$~b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}}$	$~b = r_p\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}$	$~b = r_a\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}$
$~\boldsymbol c$ – фокальное расстояние		$~c = \frac{be}{\sqrt{1-e^2}}$	$~\boldsymbol c$	$~c = \frac{pe}{1-e^2}$	$~c = \frac{r_pe}{1-e}$	$~c = \frac{r_ae}{1+e}$
$~\boldsymbol p$ – фокальный параметр		$~p = b~\sqrt{1-e^2}$	$~p = c~\frac{1-e^2}{e}$	$~\boldsymbol p$
$~\boldsymbol r_p$ – перифокусное расстояние		$~r_p = b~\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}$	$~r_p = c~\frac{1-e}{e}$	$~r_p = \frac{p}{1+e}$	$~\boldsymbol r_p$	$~r_p = r_a\frac{1-e}{1+e}$
$~\boldsymbol r_a$ – апофокусное расстояние		$~ r_a = b~\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}$	$~ r_a = c~\frac{1+e}{e}$	$~ r_a = \frac{p}{1-e}$	$~ r_a = r_p~\frac{1+e}{1-e}$	$~\boldsymbol r_a$

Координатное представление

Эллипс как кривая второго порядка

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида

$~a_{11}x^2 + a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,$

при инвариантах $D > 0\,$ и $\Delta I < 0,\,$ где:

$\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix},$

$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22} - a_{12}^2,$

$I=tr\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}=a_{11}+a_{22}.$

Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса:

$\Delta = -\frac{1}{a^2}\frac{1}{b^2},\,$

$D = \frac{1}{a^2}\frac{1}{b^2},\,$

$I = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}.\,$

Каноническое уравнение

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.

Соотношения

Для определённости положим, что $0 < b \leqslant a.$ В этом случае величины и — соответственно, большая и малая полуоси эллипса.

Зная полуоси эллипса можно вычислить его фокальное расстояние и эксцентриситет:

$\left|F_1F_2\right|=2\sqrt{a^2-b^2},\;\;\;e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}< 1.$

Координаты фокусов эллипса:

$\left(ae,\,0\right),\;\;\;\left(-ae,\,0\right).$

Эллипс имеет две директрисы, уравнения которых можно записать как

$x=\frac{a}{e},\;\;\;x=-\frac{a}{e}.$

Фокальный параметр (т.е. половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен

$p=\frac{b^2}{a}.$

Фокальные радиусы, т. е. расстояния от фокусов до произвольной точки кривой $\left(x,\,y\right):$

$r_1 = a + ex,\;\;\;r_2 = a - ex.$

Уравнение диаметра, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом :

$y=-\frac{b^2}{a^2k}x.$

Уравнение касательной к эллипсу в точке (x_0,y_0) имеет вид

$\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} =1.$

Условие касания прямой y=mx+k и эллипса $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ записывается в виде соотношения k^2=m^2a^2 + b^2

Уравнение касательных, проходящих через точку $\left(x_1, y_1\right):$

$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{-x_1y_1 \pm \sqrt{b^2x_1^2 + a^2y_1^2 - a^2b^2}}{a^2 - x_1^2}$

Уравнение касательных, имеющих данный угловой коэффициент :

$y=kx \pm \sqrt{k^2a^2 + b^2}.$

Уравнение нормали в точке $\left(x_1, y_1\right):$

$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{a^2y_1}{b^2x_1}.$

Уравнения в параметрической форме

Геометрическая иллюстрация параметризации эллипса (анимация).

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

$\begin{cases} x = a\,\cos t \\ y = b\,\sin t \end{cases}\;\;\; 0 \leqslant t \leqslant 2\pi,$

где $t\,$ — параметр уравнения.

В случае окружности параметр $t\,$ является углом между радиус-вектором данной точки и положительным направлением оси абсцисс.

В полярных координатах

Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах $\left(\rho, \varphi\right)$ будет иметь вид

$\rho = \frac{p}{1 \pm e \cos \varphi},$

где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр. При положительном знаке перед e второй фокус эллипса будет находиться в точке $\left(0, 2c\right),$ а при отрицательном — в точке $\left(\pi, 2c\right),$ где фокальное расстояние $c = \frac{pe}{1-e^2}.$

Вывод

Пусть _r_1 и _r_2 — расстояния до данной точки эллипса от первого и второго фокусов. Пусть также полюс системы координат находится в первом фокусе, а угол $\varphi$ отсчитывается от направления на второй полюс. Тогда, из определения эллипса,

r_1 + r_2 = 2a.

Отсюда,

$r_2^2=\left( 2a - r_1 \right)^2 = 4a^2 - 4ar_1 + r_1^2.$

С другой стороны, из теоремы косинусов

$r_2^2 = r_1^2 + 4c^2 - 4r_1c \cos \varphi.$

Исключая r_2 из последних двух уравнений, получаем

$r_1 = \frac{a^2-c^2}{a-c \cos \varphi}.$

Учитывая, что

p = a(1 - e^2),

получаем искомое уравнение.

Если принять центр эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах $\left(\rho, \varphi\right)$ будет иметь вид

$\rho = \frac{b}{\sqrt{1-e^2 \cos^2 \varphi}}.$

Длина дуги эллипса

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

$l = \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right) ^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \,dt.$

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение:

$l = \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t}\,dt.$

После замены $b^2 = a^2 \left(1 - e^2 \right)$ выражение для длины дуги принимает окончательный вид:

$l = a \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt,\;\;\; e < 1.$

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллиптическому интегралу второго рода $E \left(t,e \right)$ . В частности, периметр эллипса равен:

$l = 4a \int \limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt = 4aE(e)$ ,

где $E \left(e \right)$ — полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближённые формулы для периметра

$L=4\frac{\pi ab + (a-b)^2}{a+b}.$

Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 % при эксцентриситете эллипса ~0,988 (соотношение осей ~1/6,5). Погрешность всегда положительная.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:

$L=4 \cdot \left(a^x+b^x\right)^\left(1/x\right)$ , где $x=\frac{\ln 2}{\ln\frac{\pi}{2}}.$

Максимальная погрешность этой формулы ~0,36 % при эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5). Погрешность также всегда положительная.

Cущественно лучшую точность при 0,05<a/b<20 обеспечивает формула Рамануджана:

$L=\pi[3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}].$

При эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5) погрешность составляет ~0,02 %. Погрешность всегда отрицательная.

Площадь эллипса и его сегмента

Площадь эллипса вычисляется по формуле

$~S = \pi a b.$

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и хордой, проходящей через точки $\left(x,\,y\right)$ и $\left(x,\,-y\right):$

$S = \frac{\pi a b}{2} - \frac{b}{a} \left(x\,\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \arcsin \frac{x}{a} \right).$ [источник не указан 156 дней]

Если эллипс задан уравнением A x^2+ B x y + C y^2 = 1 , то площадь можно определить по формуле

$S = \frac{2\pi}{\sqrt{ 4 A C - B^2 }}$ .

Построение эллипса

Построение с помощью иголок, нитки и карандаша.

Основная статья — статья «Построение эллипса» в Викиучебнике.

Инструментами для рисования эллипса являются:

эллипсограф;
две иголки, воткнутые в фокусы эллипса и соединённые ниткой длиной 2a, которую оттягивают карандашом.

При помощи циркуля или циркуля и линейки можно построить любое количество точек, принадлежащих эллипсу, но не весь эллипс целиком.

См. также

Кривая второго порядка
Парабола
Каустика
Эллипсоид
Эллипсограф
Кривая постоянной разности расстояний между двумя точками — гипербола,
постоянного отношения — окружность Аполлония,
постоянного произведения — овал Кассини.

Литература

Корн Г., Корн Т. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 70—73.

Ссылки

	Эллипс в Викисловаре?
	Эллипс на Викискладе?

А. В. Акопян, А. А. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
И. Бронштейн. Эллипс // Квант, № 9, 1970.
А. И. Маркушевич. Замечательные кривые // «Популярные лекции по математике», выпуск 4.
S.Sykora, Approximations of Ellipse Perimeters and of the Complete Elliptic Integral E(x). Review of known formulae
Grard P. Michon. Perimeter of an Ellipse (Final Answers), 2000-2005. — 20 c.
Видео: Как нарисовать эллипс

Кривые
Определения	Аналитическая • Жордана • Канторова • Урысона • Овал • Спрямляемая Радиус кривизны
Преобразованные	Эволюта • Эвольвента • Подера • Антиподера • Параллельная • Дуальная • Каустика
Неплоские	Винтовая линия • Линия откоса • Локсодрома • Ортодромия • Губка
Плоские алгебраические
Конические сечения	Гипербола • Парабола • Эллипс (Окружность)
3-й порядок	Эллиптические: Эллиптическая кривая • Функции Якоби • Интеграл • Функции Другие: Верзьера Аньези • Декартов лист • Кубика • Полукубическая парабола • Строфоида • Циссоида Диокла
Лемнискаты	Бернулли (Овал Кассини) • Бута • Жероно
Аппроксимационные	Сплайн (B-сплайн • Кубический • Моносплайн • Эрмита) • Безье
Циклоидальные	Кардиоида • Нефроида • Дельтоида • Астроида • Улитка Паскаля
Плоские трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) • Гиперболическая • «Жезл» • Клотоида • Логарифмическая
Циклоидальные	Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие	Квадратриса • Погони (Трактриса) • Трохоида • Цепная линия (перевёрнутая арочная) • Постоянной ширины • Синусоида
Фрактальные
Простые	Коха • Леви • Минковского • Пеано
Топологические	Салфетка + Ковёр Серпинского • Губка Менгера

Конические сечения
Главные типы	Эллипс • Гипербола • Парабола
Вырожденные	Точка • Прямая • Пара прямых
Частный случай эллипса	Окружность
Геометрическое построение	Коническое сечение • Шары Данделена
См. также	Коническая константа
Математика • Геометрия