Диофантовы уравнения | это... Что такое Диофантовы уравнения? (original) (raw)

Диофантовы уравнения

Диофа́нтово уравнение или уравнение в целых числах — это уравнение с целыми коэффициентами и неизвестными, которые могут принимать только целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта.

Линейные диофантовы уравнения

Общий вид линейного диофантова уравнения: $ax+by+\ldots+cz=d$ . В литературе под диофантовыми уравнениями иногда понимаются также уравнения более частного вида — с двумя неизвестными:

$ax+by=c\qquad(1)$

которые достаточно хорошо изучены.

Если $(a,b) \nmid c$ (то есть c не делится нацело на НОД $(a,\;b)$ ), то уравнение (1) не разрешимо в целых числах. В самом деле, в этом случае $(a,\;b) \ne 1$ , но тогда число, стоящее слева в (1) делится на $(a,\;b)$ , а стоящее справа — нет. Если в уравнении a x + b y = 1 $(a,\;b)=1$ , то оно разрешимо в целых числах.

Пусть $(x_0,\;y_0)$ — решение уравнения a x + b y = c. Тогда все его решения находятся по следующим формулам:

x = _x_0 − b n, y = _y_0 + a n, $n \in\mathbb Z$ .

Начальное (базисное) решение $(x_0,\;y_0)$ можно построить таким образом. Если $(a, b) \ne 1$ , то (если уравнение имеет решения) c делится на (a, b) в силу вышесказанного. Тогда уравнение сводится к виду a_1_x + b_1_y = _c_1 путем деления всех коэффициентов на (a,b). Для уравнения a x + b y = c с (a,b) = 1 базисное решение получается из соотношения Безу для a, b:

u a + v b = 1,

исходя из которого, можно положить $(x_0,\;y_0) = (c\cdot u,\;c\cdot v).$

Некоторые другие уравнения

Неразрешимость в общем виде

Десятая проблема Гильберта, сформулированная в 1900 г., состоит в нахождении алгоритма решения произвольных диофантовых уравнений. В 1970 г. Юрий Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость этой проблемы.

См. также

Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. — М.: Наука, 1978. — (Популярные лекции по математике).
В. Н. Серпинский О решении уравнений в целых числах. — М.: Физматлит, 1961. — 88 с.

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Диофантовы уравнения" в других словарях:

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ — алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения … Большой Энциклопедический словарь
ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ — алгебраич. уравнения или системы алгебраич. уравнений с рациональными коэффициентами, решения к рых отыскиваются в целых или рациональных числах. Обычно предполагается, что Д. у. имеют число неизвестных, превосходящее число уравнений, в связи с… … Математическая энциклопедия
Диофантовы уравнения — алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. * * * ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ, алгебраические… … Энциклопедический словарь
Диофантовы уравнения — (по имени древнегреческого математика Диофанта) алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или… … Большая советская энциклопедия
ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ — алгебр. ур ния или их системы с целыми коэф., имеющие число неизвестных, превосходящее число ур ний, и у к рых разыскиваются целые или рациональные решения. Названы по имени Диофанта Александрийского … Естествознание. Энциклопедический словарь
ДИОФАНТОВЫ ПРОБЛЕМЫ АДДИТИВНОГО ТИПА — диофантовы уравнения, для к рых ставится задача нахождения целочисленных решений и к рые могут одновременно рассматриваться как аддитивные проблемы, т. е. как задачи о разбиении целого числа п(произвольного или подчиненного дополнительным… … Математическая энциклопедия
ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ — раздел теории чисел, в к ром изучаются приближения нуля значениями функций от конечного числа целочисленных аргументов. Первоначальные задачи Д. п. касались рациональных приближений к действительным числам, но развитие теории привело к задачам, в … Математическая энциклопедия
УРАВНЕНИЯ — Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида… … Энциклопедия Кольера
Диофантовы приближения — часть теории чисел, изучающая приближения действительных чисел рациональными числами, или, при более широком понимании предмета, вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем неравенств с… … Большая советская энциклопедия
Диофантово уравнение — это уравнение вида где P целочисленная функция (например, полином с целыми коэффициентами), а переменные принимают целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта. Содержание 1 Примеры … Википедия