Ряд Лорана | это... Что такое Ряд Лорана? (original) (raw)

Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням (z-a), то есть ряд вида

\sum_{n\in \Z}a_n(z-a)^n

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

  1. \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n — положительная часть ряда Лорана (иногда называется правильной) и
  2. \sum_{n=-\infty}^{-1}{a_{n}}{(z-a)^n} — отрицательная часть ряда Лорана (иногда называется главной).

При этом ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части. Термин назван в честь французского математика П. А. Лорана.

Свойства

D= \{z\in\mathbb C\mid r<|z-a|<R<\infty\}

a_n=\frac1{2\pi i}\int\limits_\gamma\frac{f(z)\,dz}{(z-z_0)^{n+1}}

где \gamma(t)=a+\rho e^{it}, t\in [0,2\pi], r<\rho<R — любая окружность с центром a, расположенная внутри кольца сходимости.

Теорема Лорана

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая однозначная аналитическая функция f(z) в кольце D= \{z\in\mathbb C\mid r<|z-a|<R<\infty\} представима в D сходящимся рядом Лорана.

В частности, в проколотой окрестности

D= \{z\in\mathbb C\mid 0<|z+b-a|<R<\infty\}

изолированной особой точки a однозначная аналитическая функция f(z) представима рядом Лорана, который служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности изолированной особой точки.

Тип особой точки определяется главной частью ряда Лорана в кольце с центром в этой точке:

Литература