Мультипликативная функция | это... Что такое Мультипликативная функция? (original) (raw)

В теории чисел, мультипликативная функция ― арифметическая функция f(m) , такая что

f(m_1 m_2) = f(m_1)f(m_2) для любых взаимно простых чисел m_1 и m_2

f(1)=1

При выполнении первого условия, требование f(1)=1 равносильно тому, что функция f(m) не равна тождественно нулю.

Следует отметить, что вне теории чисел под мультипликативной функцией понимают любую функцию , определенную на некотором множестве , такую что

f(x_1 x_2) = f(x_1) f(x_2) для любых $x_1, x_2 \in X$ .

В теории чисел такие функции, то есть функции f(m) , для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных m_1, m_2 , называются вполне мультипликативными.

Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если

$f(p^\alpha) = f(p)$

для всех простых и всех натуральных $\alpha$ .

Функция называется вполне мультипликативной тогда и только тогда, когда для любых натуральных x,y выполняется соотношение f(xy)=f(x)f(y) .

Примеры

Свойства

Если f(m) — мультипликативная функция, то функция

$g(m) = \sum_{d|m} f(d)$

также будет мультипликативной. Обратно, если функция g(m) , определенная этим соотношением является мультипликативной, то и исходная функция f(m) также мультипликативна.

Более того, если f(m) и g(m) — мультипликативные функции, то мультипликативной будет и их свертка Дирихле

$h(m) = \sum_{d|m} f(d) g\left(\frac{m}{d}\right)$

Литература

Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3

См. также

Арифметическая функция