Свёртка Дирихле | это... Что такое Свёртка Дирихле? (original) (raw)

В математике Свертка Дирихле — это бинарная операция, определенная для арифметических функций, используемая в теории чисел. Она была изобретена и исследована немецким математиком Петером Густавом Леженом Дирихле.

Содержание

Определение

Если f и g — две арифметические функции (то есть функции, отображающие множество натуральных чисел во множество комплексных чисел), то мы можем определить новую функцию f*g, называемую сверткой Дирихле функций ƒ и g как

(f*g)(n) = \sum_{d\mid n} f(d)g\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{ab=n}f(a)g(b)

где сумма берется по всем натуральным делителям d числа n, или, что эквивалентно, по всем парам (a, b) натуральных чисел, произведение которых равно n.

Свойства

Множество арифметических функций по поточечному сложению (то есть функция f+g определяется соотношением (f+g)(n)=f(n)+g(n)) и свертке Дирихле образуют коммутативное кольцо, или кольцо Дирихле. Единицей кольца будет функция \epsilon определенная как \epsilon(n)=1, если n=1 и \epsilon(n)=0, если n>1. Единицами кольца (то есть обратимыми элементами) являются все функции f такие, что f(1)\neq 0.

В частности, свертка Дирихле является[1] ассоциативной:

(f*g)*h=f*(g*h),

дистрибутивной по сложению

f*(g+h)=f*g+f*h=(g+h)*f,

коммутативной,

f*g=g*f,

и имеет нейтральный элемент,

f*\epsilon=\epsilon*f=f.

Для каждой функции f, для которой f(1)\neq 0 существует функция g такая, что f*g=\epsilon, называемая обращением Дирихле функции f.

Свертка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативна, и каждая мультипликативная функция имеет мультипликативное обращение Дирихле. Статья о мультипликативных функциях содержит некоторые сходные соотношения свертки, важные для мультипликативных функций.

Если f — вполне мультипликативная функция, то f(g*h)=(fg)*(fh), где умножение функций определяется как их поточечная композиция.[2] Свертка двух вполне мультипликативных функций не всегда является вполне мультипликативной.

Примеры

В приведенных ниже формулах используются следующие обозначения

\epsilon — единица по умножению кольца.

1 — это постоянная функция, значения которой равны 1 для всех n. (То есть 1(n)=1.) Запомните, что 1 — это не единица кольца.

1_C, где C\subseteq\mathbb{Z}, — индикаторная функция. (То есть 1_C(n)=1, если n\in C, иначе равна нулю)

\operatorname{Id} — тождественная функция (то есть \operatorname{Id}(n)=n)

\operatorname{Id}_k — _k_-я степень тождественной функции. (То есть \operatorname{Id}_k = n^k.)

Прочие функции можно найти в статье арифметическая функция.

Обращение Дирихле

Если задана арифметическая функция f, то её обращение Дирихле g=f^{-1} может быть вычислена рекурсивно (точнее каждое значение g(n) выражается через g(m) для m<n) через определение обращения Дирихле

Для n=1 g(1)=f^{-1}(1) — определена при f(1)\neq 0

И в общем для всех n>1

g(n)=\frac{-1}{f(1)} \sum_\stackrel{d\mid n} {d < n}f\left(\frac{n}{d}\right) g(d).

g(n) определено, если f(1)\neq 0. Таким образом, функция f имеет обращение Дирихле тогда и только тогда, когда f(1)\neq 0.

Ряды Дирихле

Если f — арифметическая функция, то можно определить её ряд Дирихле, производящую функцию как

\operatorname{DG}(f;s) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{f(n)}{n^s}

для всех таких комплексных аргументов s, для которых ряд сходится. Произведение рядов Дирихле связано с её сверткой Дирихле следующим образом:

\operatorname{DG}(f;s) \operatorname{DG}(g;s) = \operatorname{DG}(f*g;s)

для всех s, для которых оба ряда слева сходятся, причем хотя бы один сходится абсолютно (заметим, что просто сходимость обоих рядов слева не влечет сходимость ряда справа!). Это похоже на теорему сходимости если понимать ряд Дирихле как преобразование Фурье.

См. также

Примечания

  1. ↑ Proofs of all these facts are in Chan, ch. 2
  2. ↑ Доказательство в статьеCompletely multiplicative function#Proof of pseudo-associative property.

Ссылки