Идеал (алгебра) | это... Что такое Идеал (алгебра)? (original) (raw)

У этого термина существуют и другие значения, см. Идеал (значения).

Идеал — одно из основных понятий абстрактной алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведет свое происхождение от «идеальных чисел». Простейшими примерами идеалов может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.

Например, в кольцах вместо простых чисел изучаются простые идеалы, как обобщение взаимно простых чисел вводятся взаимно простые идеалы, можно доказать аналог китайской теоремы об остатках для идеалов.

В некотором важном классе колец (т.н. дедекиндовых) можно даже получить аналог основной теоремы арифметики: в этих кольцах каждый ненулевой идеал можно единственным образом представить как произведение простых идеалов.

Определение

Для кольца идеалом называется подкольцо, замкнутое относительно умножения на элементы из . При этом идеал называется левым (соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из . Идеал, являющийся одновременно левым и правым, называется двусторонним. Двусторонний идеал часто называется просто идеалом. В коммутативном случае все эти три понятия совпадают и всегда применяется термин идеал.

Более точно: Идеалом кольца называется такое подкольцо кольца , что

$\forall i \in I\;\forall r\in R$ произведение $ir \in I$ (условие на правые идеалы);
$\forall i \in I\;\forall r\in R$ произведение $ri \in I$ (условие на левые идеалы).

Аналогично для полугруппы её идеалом называется подполугруппа, для которой верно какое-нибудь из этих условий (или оба для двустороннего идеала), то же самое и для алгебры.

Замечание

Для -алгебры (алгебры над кольцом ) идеал кольца может, вообще говоря, не быть идеалом алгебры , так как это подкольцо необязательно будет подалгеброй, то есть еще и подмодулем над . Например, если есть -алгебра с нулевым умножением, то множество всех идеалов кольца совпадает с множеством всех подгрупп аддитивной группы , а множество всех идеалов алгебры совпадает с множеством всех подпространств векторного -пространства . Однако в случае, когда — алгебра с единицей, оба эти понятия совпадают.

Связанные определения

Понятие идеала тесно связано с понятием модуля. Идеал (правый или левый) можно определять как подмодуль кольца, рассмотренного как правый или левый модуль над собой.

Свойства

Типы идеалов

Главный идеал: Идеал, порожденный одним элементом.
Конечнопорождённый идеал
Минимальный идеал
Максимальный идеал: Собственный идеал I называется максимальным, если не существует собственный идеал J такой, что I — собственное подмножество J. Факторкольцо по максимальному идеалу является полем.
Модулярный идеал
Нильпотентный идеал
Первичный идеал
Простой идеал
Радикальный идеал: Идеал, совпадающий со своим радикалом.

Основные конструкции

Главные идеалы. Если p принадлежит R, a k любое целое число то $\{pr+kp:\,r\in R\ , k\in \mathbb{Z}\}$ — будет минимальным правым идеалом, содержащим p, а $\{rp+kp:\,r\in R\ , k\in \mathbb{Z}\}$ — минимальным левым идеалом в R. Они называются, соответственно, главными правым и левым идеалом, порожденными p. В коммутативном случае эти идеалы совпадают и обозначаются также (p). Если кольцо R содержит единичный элемент, то так как , главные идеалы, порождённые a можно записать $pR = \{pr:\,r\in R\}$ и $Rp = \{rp:\,r\in R\}$ соответственно. Всякий идеал, содержащий элемент p, содержит и главный идеал, им порождённый.
Идеал, порождённый множеством элементов. Пересечение произвольного семейства левых идеалов кольца R — левый идеал кольца R. Поэтому для всякого подмножества M кольца R существует минимальный левый идеал, его содержащий, а именно — пересечение всех левых идеалов, содержащих множество M. (То же верно для правых и двусторонних идеалов.) Для кольца R с единичным элементом минимальный левый идеал представляет собой множество конечных сумм вида , минимальный правый идеал — множество конечных сумм вида , минимальный двусторонний идеал — множество конечных сумм вида , где mi — произвольные элементы множества M, а ri,r'i — произвольные элементы кольца R. Если кольцо не содержит единицы то минимальный левый идеал будет иметь вид , минимальный правый , минимальный двусторонний , где все — любые целые числа. Эти идеалы называются порождёнными множеством M. В коммутативном случае все они совпадают и обозначаются так: (M). Идеалы, порождённые конечным множеством, называются конечнопорождёнными.
Произведение идеалов. Произведением идеалов I и J называется идеал IJ, порождённый всеми произведениями ab, где a — элемент идеала I, b — элемент идеала J. Бесконечное произведение идеалов неопределено.
Частное идеалов. В коммутативном кольце для идеала I, отличного от нуля, и идеала J определёно их частное — идеал $I^{-1}J = \{x\in R\colon\, \forall i\in I\, ix\in J \}$ . Этот идеал называется аннулятором идеала I в случае, когда J=(0), .
Радикал идеала I — это множество $\sqrt{I}=\{f\in A:\,\exist n\in \mathbb{N} \,\,f^n\in{I}\}$ . Оно тоже является идеалом кольца A, если только кольцо A коммутативно. В случае, когда I=(0), этот идеал называется нильрадикалом кольца A. Его элементами являются все нильпотентные элементы кольца. Если коммутативное кольцо не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля, (имеет нулевой нильрадикал), — оно называется радикальным. Идеал I называется радикальным, если он совпадает со своим радикалом. В этом случае факторкольцо R/I не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля.
Образ идеала при гомоморфизме. Обычно образ идеала при гомоморфизме НЕ является идеалом, однако если гомоморфизм сюръективен, то тогда является. В частности, так как гомоморфизм факторизации всегда сюръективен, при факторизации каждый идеал переходит в идеал.
Гомоморфизм факторизации по идеалу. Если I — двусторонний идеал в кольце R, по нему можно определить отношение эквивалентности на R по правилу: x ~ y тогда и только тогда, когда разность x-y принадлежит I. Проверяется, что если в сумме или произведении один из операндов заменить на эквивалентный, новый результат будет эквивалентен исходному. Таким образом операции сложения и умножения становятся определенными на множестве R/I классов эквивалентности, превращая его в кольцо (коммутативность и наличие единицы переносятся с кольца R, если они есть). Одновременно с этим кольцом определён гомоморфизм факторизации (канонический гомоморфизм) $\pi:\,R\to R/I$ , который каждому элементу a из R ставит в соответствие класс эквивалентности, в котором он содержится. Класс эквивалентности элемента a есть множество элементов вида a+i по всем i из идеала I, поэтому он обозначается a + I, но иногда используется и общее обозначение для класса эквивалентности [a]. Поэтому $\pi(a) = [a] = a+I$ . Кольцо R/I при этом называется факторкольцом кольца R по идеалу I.

История

Идеалы были впервые введены Дедекиндом в 1876 в третьем издании его книги «_Лекции по теории чисел_». Это было обобщением концепции идеальных чисел, введённых Куммером.

В дальнейшем эти идеи разрабатывались Гильбертом и особенно Нётер.

Ссылки

Винберг Э. Б. Курс алгебры, — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7.
Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, Т.1-2, — М.: ИЛ, 1963.
_Ленг С._Алгебра, — М.: Мир, 1968.