1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ (original) (raw)
In mathematics, 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ is the infinite series whose terms are the successive powers of two. As a geometric series, it is characterized by its first term, 1, and its common ratio, 2. As a series of real numbers it diverges to infinity, so in the usual sense it has no sum. In a much broader sense, the series is associated with another value besides ∞, namely −1, which is the limit of the series using the 2-adic metric.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In mathematics, 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ is the infinite series whose terms are the successive powers of two. As a geometric series, it is characterized by its first term, 1, and its common ratio, 2. As a series of real numbers it diverges to infinity, so in the usual sense it has no sum. In a much broader sense, the series is associated with another value besides ∞, namely −1, which is the limit of the series using the 2-adic metric. (en) En mathématiques, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ est la série infinie dont les termes sont les puissances successives de 2. Comme une série géométrique, elle se caractérise par son premier terme, 1, et sa raison, 2. Comme une série de nombres réels, elle diverge vers l'infini, donc dans le sens usuel, elle n'a pas de somme. Dans un sens beaucoup plus large, la série est associée à une autre valeur en dehors de ∞, à savoir –1. (fr) Dalam matematika, 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ adalah deret tak terhingga yang suku-sukunya berupa pangkat dua. Sebagai deret geometrik, deret ini mempunyai suku pertama, 1, dan rasio umum, 2. Sebagai deret bilangan riil, deret ini divergen menuju ke tak terhingga, dalam artian tidak memiliki penjumlahan. Dalam arti yang lebih luas, deret ini dikaitkan dengan nilai selain , yaitu −1, yang merupakan batas deret menggunakan . (in) 1 + 2 + 4 + 8 + …は無限級数の一つで、数学において、その項は連続する2の冪である。初項1、公比2の等比数列として特徴付けられる。実数の級数で、無限大に発散する級数として、普通には実数の和を持たないとされる。より広く解釈すると、この級数は ∞ の他の値、即ち −1 に関連付けられる。 (ja) In matematica, 1 + 2 + 4 + 8 + ... è la serie divergente infinita i cui termini sono le potenze successive di due. È una serie geometrica di ragione 2: (it) Szereg 1 + 2 + 4 + 8 + … – nieskończony szereg, którego wyrazy są kolejnymi potęgami liczby 2. Jako szereg geometryczny, jest on opisany przez pierwszy wyraz szeregu, równy 1, oraz iloraz szeregu geometrycznego, równy 2. Jako szereg liczb rzeczywistych jest on rozbieżny, czyli z definicji jego suma nie istnieje. W znacznie szerszym sensie, z tym szeregiem jest skojarzona inna liczba oprócz a mianowicie (pl) 在数学领域，1 + 2 + 4 + 8 + … 是一个无穷级数，它的每一项都是2的幂。作为几何级数，它以 1 为首项，2 为公比。 作为实数级数，他发散到无穷，所以在一般意义下它的和不存在。 如果以代數運算的方式來計算這個數列的和，雖然可以得到∞以及-1這兩個值，但這必須在更廣泛的意義中才能成立。 在历史和数学教育，1 + 2 + 4 + 8 + …是正项发散几何级数的一个基本例子。许多结果和争论引出了许多类似级数，其他的例子如2 + 6 + 18 + 54 + …。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Partial_sums_of_1+2+3+4.jpg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E247.html http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2032%20divergent%20series.pdf https://web.archive.org/web/20130320011704/http:/www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2032%20divergent%20series.pdf |
| dbo:wikiPageID | 9552145 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 8009 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1123380420 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Power_series dbr:Powers_of_two dbr:0.999... dbc:Geometric_series dbr:Complex_plane dbr:Analytic_continuation dbr:Mathematics dbr:G._H._Hardy dbr:Geometric_series dbr:Grandi's_series dbr:Möbius_transformation dbr:Leonhard_Euler dbr:1_+_1_+_1_+_1_+_⋯ dbr:1_−_2_+_3_−_4_+_⋯ dbr:1_−_2_+_4_−_8_+_⋯ dbr:Cesàro_summation dbr:Totally_regular_summation_method dbr:Two's_complement dbr:Divergent_series dbr:1_−_1_+_2_−_6_+_24_−_120_+_⋯ dbr:Fixed_point_(mathematics) dbr:Abel_summation dbr:P-adic_number dbr:P-adic_numbers dbr:Mathematical_proof dbr:1_+_2_+_3_+_4_+_⋯ dbc:Binary_arithmetic dbc:Divergent_series dbc:P-adic_numbers dbr:Riemann_sphere dbr:Infinity dbr:Integer dbr:Radius_of_convergence dbr:Real_number dbr:Euler_summation dbr:Recurring_decimal dbr:Infinite_series dbr:File:Partial_sums_of_1+2+3+4.jpg |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Cite_web dbt:Refbegin dbt:Refend dbt:Reflist dbt:Series_(mathematics) dbt:Short_description dbt:LCC |
| dct:subject | dbc:Geometric_series dbc:Binary_arithmetic dbc:Divergent_series dbc:P-adic_numbers |
| gold:hypernym | dbr:Series |
| rdf:type | dbo:TelevisionShow |
| rdfs:comment | In mathematics, 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ is the infinite series whose terms are the successive powers of two. As a geometric series, it is characterized by its first term, 1, and its common ratio, 2. As a series of real numbers it diverges to infinity, so in the usual sense it has no sum. In a much broader sense, the series is associated with another value besides ∞, namely −1, which is the limit of the series using the 2-adic metric. (en) En mathématiques, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ est la série infinie dont les termes sont les puissances successives de 2. Comme une série géométrique, elle se caractérise par son premier terme, 1, et sa raison, 2. Comme une série de nombres réels, elle diverge vers l'infini, donc dans le sens usuel, elle n'a pas de somme. Dans un sens beaucoup plus large, la série est associée à une autre valeur en dehors de ∞, à savoir –1. (fr) Dalam matematika, 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ adalah deret tak terhingga yang suku-sukunya berupa pangkat dua. Sebagai deret geometrik, deret ini mempunyai suku pertama, 1, dan rasio umum, 2. Sebagai deret bilangan riil, deret ini divergen menuju ke tak terhingga, dalam artian tidak memiliki penjumlahan. Dalam arti yang lebih luas, deret ini dikaitkan dengan nilai selain , yaitu −1, yang merupakan batas deret menggunakan . (in) 1 + 2 + 4 + 8 + …は無限級数の一つで、数学において、その項は連続する2の冪である。初項1、公比2の等比数列として特徴付けられる。実数の級数で、無限大に発散する級数として、普通には実数の和を持たないとされる。より広く解釈すると、この級数は ∞ の他の値、即ち −1 に関連付けられる。 (ja) In matematica, 1 + 2 + 4 + 8 + ... è la serie divergente infinita i cui termini sono le potenze successive di due. È una serie geometrica di ragione 2: (it) Szereg 1 + 2 + 4 + 8 + … – nieskończony szereg, którego wyrazy są kolejnymi potęgami liczby 2. Jako szereg geometryczny, jest on opisany przez pierwszy wyraz szeregu, równy 1, oraz iloraz szeregu geometrycznego, równy 2. Jako szereg liczb rzeczywistych jest on rozbieżny, czyli z definicji jego suma nie istnieje. W znacznie szerszym sensie, z tym szeregiem jest skojarzona inna liczba oprócz a mianowicie (pl) 在数学领域，1 + 2 + 4 + 8 + … 是一个无穷级数，它的每一项都是2的幂。作为几何级数，它以 1 为首项，2 为公比。 作为实数级数，他发散到无穷，所以在一般意义下它的和不存在。 如果以代數運算的方式來計算這個數列的和，雖然可以得到∞以及-1這兩個值，但這必須在更廣泛的意義中才能成立。 在历史和数学教育，1 + 2 + 4 + 8 + …是正项发散几何级数的一个基本例子。许多结果和争论引出了许多类似级数，其他的例子如2 + 6 + 18 + 54 + …。 (zh) |
| rdfs:label | 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ (en) 1 + 2 + 4 + 8 + ... (in) 1 + 2 + 4 + 8 + ... (it) 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ (fr) 1+2+4+8+… (ja) Szereg 1 + 2 + 4 + 8 + … (pl) 1 + 2 + 4 + 8 + … (zh) |
| owl:sameAs | freebase:1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ wikidata:1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ dbpedia-fr:1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ http://hi.dbpedia.org/resource/१_+_२_+_४_+_८_+_·_·_· dbpedia-id:1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ dbpedia-it:1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ dbpedia-ja:1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ dbpedia-pl:1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ dbpedia-sr:1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ dbpedia-zh:1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ https://global.dbpedia.org/id/Wpmd |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:1_+_2_+_4_+_8_+_⋯?oldid=1123380420&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Partial_sums_of_1+2+3+4.jpg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:1_+_2_+_4_+_8_+_⋯ |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:1_+_2_+_4_+_8 dbr:1_+_2_+_4_+_8_+ dbr:1_+_2_+_4_+_8_+_... dbr:1_+_2_+_4_+_8_+_·_·_· dbr:1_+_2_+_4_+_8_+_… dbr:1+2+4+8 dbr:1+2+4+8+ dbr:1+2+4+8+... dbr:1+2+4+8+… dbr:1+2+4+8... |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:1_−_2_+_3_−_4_+_⋯ dbr:1_−_2_+_4_−_8_+_⋯ dbr:1_+_2_+_3_+_4_+_⋯ dbr:1_−_1_+_2_−_6_+_24_−_120_+_… dbr:1_+_2_+_4_+_8 dbr:1_+_2_+_4_+_8_+ dbr:1_+_2_+_4_+_8_+_... dbr:1_+_2_+_4_+_8_+_·_·_· dbr:1_+_2_+_4_+_8_+_… dbr:1+2+4+8 dbr:1+2+4+8+ dbr:1+2+4+8+... dbr:1+2+4+8+… dbr:1+2+4+8... |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:1_+_2_+_4_+_8_+_⋯ |
