Riemann sphere (original) (raw)
في الرياضيات، كرة ريمان، نسبة إلى عَالِم الرياضيات الشهير بيرنارد ريمان، هي النموذج الرياضي الذي يمكن من إظهار المستوى العقدي الممدد (المستوى العقدي إضافة لنقطة في اللانهاية) بحيث يبدو من نقطة اللانهاية ممائلا لشكله عند أي عدد عقدي، بالذات بالنسبة .
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En matemàtiques, l'esfera de Riemann (o pla complex estès), que pren el nom del matemàtic del segle XIX Bernhard Riemann, és una esfera que s'obté a partir del pla complex afegent-hi un . L'esfera és la representació geomètrica de l'extensió dels nombres complexos , que consisteix en els nombres complexos juntament amb el símbol que representa l'infinit. Aquesta extensió dels nombres complexos és útil en anàlisi complexa perquè permet la divisió per zero en certes condicions, d'una manera que fa que igualtats com tinguin un . Per exemple, qualsevol funció racional del pla complex es pot estendre a una funció contínua a l'esfera de Riemann, en la qual la imatge dels pols de la funció racional és l'infinit. En general, qualsevol funció meromorfa es pot entendre com una funció contínua el codomini de la qual és l'esfera de Riemann. En geometria, l'esfera de Riemann és l'exemple prototípic d'una superfície de Riemann i és una de les varietats complexes més simples. En geometria projectiva, l'esfera pot veure's com la complexa , l'espai projectiu format per totes les de . Com la resta de superfícies de Riemann compactes, l'esfera també es pot obtenir com a corba algebraica projectiva, que serveix com a exemple fonamental en la geometria algebraica. També té utilitat en altres disciplines que depenen de l'anàlisi i la geometria, com ara la mecànica quàntica i altres branques de la física. (ca) في الرياضيات، كرة ريمان، نسبة إلى عَالِم الرياضيات الشهير بيرنارد ريمان، هي النموذج الرياضي الذي يمكن من إظهار المستوى العقدي الممدد (المستوى العقدي إضافة لنقطة في اللانهاية) بحيث يبدو من نقطة اللانهاية ممائلا لشكله عند أي عدد عقدي، بالذات بالنسبة . (ar) Komplexní číslo lze znázornit na tzv. Riemannově sféře. Jedná se o povrch koule, která se svým jižním pólem dotýká Gaussovy roviny v jejím počátku. Spojením libovolného bodu Gaussovy roviny se severním pólem Riemannovy koule dostaneme bod . Přiřazení bodů a je vzájemně jednoznačné. Severnímu pólu odpovídá nevlastní bod . (cs) Στα μαθηματικά, η σφαίρα του Riemann, η οποία πήρε το όνομά της από τον μαθηματικό του 19ου αιώνα Bernhard Riemann, είναι ένα μοντέλο του επεκτεταμένου μιγαδικού επιπέδου, δηλαδή του μιγαδικού επιπέδου συμπληρωμένου με ένα σημείο στο άπειρο. Αυτό το επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο απεικονίζει τους επεκτεταμένους μιγαδικούς αριθμούς, οι οποίοι είναι οι μιγαδικοί αριθμοί μαζί με την τιμή "∞" για το άπειρο. Με το μοντέλο του Riemann, το σημείο "∞" είναι κοντά στους πολύ μεγάλους αριθμούς, όπως το σημείο "0" είναι κοντά στους πολύ μικρούς αριθμούς. Οι επεκτεταμένοι μιγαδικοί αριθμοί είναι χρήσιμοι στη μιγαδική ανάλυση, διότι επιτρέπουν σε ορισμένες περιπτώσεις τη διαίρεση με το μηδέν, έτσι ώστε να γίνονται δεκτές ως αληθείς εκφράσεις όπως 1/0 = ∞. Για παράδειγμα, κάθε ρητή συνάρτηση του μιγαδικού επιπέδου μπορεί να επεκταθεί σε μία συνεχή συνάρτηση της σφαίρας του Riemann, με τους πόλους της λογικής συνάρτησης να εντοπίζονται στο άπειρο. Γενικά, κάθε μερομορφική συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί ως μία συνεχής συνάρτηση της οποίας το είναι η σφαίρα του Riemann. Στη γεωμετρία, η σφαίρα του Riemann είναι το πρωτότυπο παράδειγμα μιας επιφάνειας Riemann και είναι το απλούστερο παράδειγμα μιγαδικής πολλαπλότητας. Στην προβολική γεωμετρία, η σφαίρα μπορεί να θεωρηθεί ως η μιγαδική προβολική ευθεία P1(C), ο προβολικός χώρος όλων των μιγαδικών ευθειών στο C2. Όπως με κάθε συμπαγής επιφάνεια Riemann, η σφαίρα μπορεί να θεωρηθεί ως μία προβολική αλγεβρική καμπύλη, καθιστώντας την ως ένα θεμελιώδες παράδειγμα της αλγεβρικής γεωμετρίας. Επίσης, είναι χρήσιμη και σε άλλους κλάδους που βασίζονται στην ανάλυση και την γεωμετρία, όπως η κβαντική μηχανικη και άλλοι κλάδοι της φυσικής. (el) La kompleksa ebeno povas esti etendita per unu plia nombro . La modelo de la etendita kompleksa ebeno estas la 2-dimensia sfero, kaj oni nomas tiun modelon la . Ĉi tiun modelon oni ofte traktas kiel 1-dimensia kompleksa sternaĵo. Ofte oni ne distingas inter Rimana sfero aŭ etendita kompleksa ebeno (aŭ etenditaj kompleksaj nombroj). (eo) In der Mathematik ist die riemannsche Zahlenkugel die riemannsche Fläche, die sich aus der Hinzunahme eines Punktes in der Unendlichkeit zu der komplexen Ebene ergibt. Sie geht zurück auf Bernhard Riemann. Weiter wird auf der riemannschen Zahlenkugel wie folgt eine Topologie definiert: Offene Mengen sind einerseits die offenen Mengen in und andererseits die bezüglich gebildeten Komplemente von kompakten Teilmengen von . Der so definierte topologische Raum stellt eine Kompaktifizierung der komplexen Ebene dar. Topologisch ist sie äquivalent zur Einheitssphäre . Mit der chordalen Metrik wird die Zahlenkugel zu einem metrischen Raum. Diese Metrik induziert die gleiche Topologie, die durch die Einpunktkompaktifizierung auf die Zahlenkugel induziert wird. Die komplexe Struktur der riemannschen Zahlenkugel wird durch zwei Karten gegeben. Die erste ist auf definiert und ist die Identität. Die zweite ist auf der Umgebung des unendlich fernen Punkts definiert durch Anschaulich handelt es sich um eine Kugel vom Radius 1, deren Nordpol auf (0,0,1) liegt (man darf die Kugel beliebig wählen, solange ihr Nordpol (0,0,1) ist). Dem unendlich fernen Punkt wird dieser Nordpol der Kugel zugeordnet und jedem Punkt der komplexen Zahlenebene der von verschiedene Schnittpunkt der Kugeloberfläche mit der Geraden durch (stereografische Projektion). Die Automorphismen, also die biholomorphen Abbildungen der riemannschen Zahlenkugel auf sich selbst, bilden die Gruppe der Möbiustransformationen. (de) En matemática, la esfera de Riemann (o plano complejo extendido), llamada así en honor al matemático del siglo XIX Bernhard Riemann, es una esfera obtenida del plano complejo mediante la adición de un punto del infinito. La esfera es la representación geométrica de los números complejos extendidos, denotado como ó , (véase fig.1 y fig.2), la cual consiste en los números complejos ordinarios en conjunción con el símbolo para representar el infinito. Los números complejos extendidos son comunes en análisis complejo porque permiten la división por cero en algunas circunstancias, en el sentido de hacer expresiones bien definidas tales como: Por ejemplo, cualquier función racional sobre el plano complejo puede ser extendida como una función continua sobre la esfera de Riemann, con los polos de la función racional mapeados al infinito. Más generalmente, cualquier función meromorfa puede ser pensada como una función continua cuyo codominio es la esfera de Riemann. En geometría, la esfera de Riemann es el ejemplo prototípico de una superficie de Riemann, y una de las más simples variedades complejas. En geometría proyectiva, la esfera puede ser pensada como la recta proyectiva compleja , el espacio proyectivo de todos las en . Como con cualquier superficie de Riemann compacta, la esfera también puede ser vista como una curva algebraica proyectiva, haciendo de esto un ejemplo fundamental de geometría algebraica. También encuentra utilidad en otras disciplinas que dependen del análisis y de la geometría, como puede ser la mecánica cuántica y otras ramas de la física. (es) In mathematics, the Riemann sphere, named after Bernhard Riemann, is a model of the extended complex plane: the complex plane plus one point at infinity. This extended plane represents the extended complex numbers, that is, the complex numbers plus a value for infinity. With the Riemann model, the point is near to very large numbers, just as the point is near to very small numbers. The extended complex numbers are useful in complex analysis because they allow for division by zero in some circumstances, in a way that makes expressions such as well-behaved. For example, any rational function on the complex plane can be extended to a holomorphic function on the Riemann sphere, with the poles of the rational function mapping to infinity. More generally, any meromorphic function can be thought of as a holomorphic function whose codomain is the Riemann sphere. In geometry, the Riemann sphere is the prototypical example of a Riemann surface, and is one of the simplest complex manifolds. In projective geometry, the sphere can be thought of as the complex projective line , the projective space of all complex lines in . As with any compact Riemann surface, the sphere may also be viewed as a projective algebraic curve, making it a fundamental example in algebraic geometry. It also finds utility in other disciplines that depend on analysis and geometry, such as the Bloch sphere of quantum mechanics and in other branches of physics. The extended complex plane is also called the closed complex plane. (en) En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l'infini, de manière que certaines expressions mathématiques deviennent convergentes et élégantes, du moins dans certains contextes. Déjà envisagée par le mathématicien Carl Friedrich Gauss, elle est baptisée du nom de son élève Bernhard Riemann. Ce plan s'appelle également la droite projective complexe, dénoté . (fr) In matematica e più precisamente in analisi complessa, la sfera di Riemann è una particolare superficie di Riemann, definita aggiungendo un "punto all'infinito" al piano complesso. È anche chiamata retta proiettiva complessa, in simboli o piano complesso esteso, in simboli È possibile quindi vedere la sfera di Riemann da diverse prospettive tra loro complementari. A livello algebrico si considera il punto all'infinito come risultato dell'operazione In questo contesto il piano complesso esteso è analogo alla retta reale estesa. Da un punto di vista topologico, il piano complesso esteso è effettivamente una sfera, come mostrato dalla proiezione stereografica. In analisi complessa la sfera di Riemann è la più semplice superficie di Riemann compatta e quindi un oggetto centrale della teoria, utile a definire le funzioni meromorfe. La sfera di Riemann è centrale anche in altri campi della geometria, ad esempio in geometria proiettiva e geometria algebrica in quanto esempio fondamentale di varietà complessa, spazio proiettivo e varietà algebrica. (it) 数学においてリーマン球面（リーマンきゅうめん、英語: Riemann sphere）は、無限遠点 ∞ を一点追加して複素平面を拡張したものである。このとき、関係式 1/0 = ∞ を、意味を持ち、整合的であり、かつ有用となるように構成できる。19 世紀の数学者ベルンハルト・リーマンから名付けられた。これはまた、以下のようにも呼ばれる。 * 複素射影直線と言い、CP1 と書く。 * 拡張複素平面と言い、 または C ∪ {∞} と書く。 純代数的には、無限遠点を追加した複素数全体は、拡張複素数として知られる数体系を構成する。無限遠点を伴う算術は、通常の代数規則すべてには従わず、拡張複素数全体は体を構成しない。しかしリーマン球面は、幾何学的また解析学的に無限遠においてさえもよく振舞い、リーマン面とも呼ばれる 1-次元複素多様体をなす。 複素解析において、リーマン球面は有理型関数の洗練された理論で重要な役割を果たす。リーマン球面は、射影幾何学や代数幾何学では、複素多様体、射影空間、代数多様体の根源的な事例として常に登場する。リーマン球面はまた、量子力学その他の物理学の分野等、解析学と幾何学に依存する他の学問分野においても、有用性を発揮している。 (ja) 복소해석학에서 리만 구(Riemann球, 영어: Riemann sphere)는 복소 구조를 가진 3차원 구이다. 기호는 . (ko) De riemann-sfeer, sfeer van Riemann of riemannbol is in de wiskunde een manier om het complexe vlak met een extra punt op oneindig uit te breiden, zodat anders onbepaalde uitdrukkingen als in bepaalde contexten een zinvolle betekenis krijgen. De riemann-sfeer is genoemd naar de 19e-eeuwse wiskundige Bernhard Riemann en wordt ook wel aangeduid als * De complexe projectieve lijn * Het uitgebreide complexe vlak of (de complexe getallen C verenigd met oneindig). (nl) Sfera Riemanna lub płaszczyzna zespolona domknięta – sfera otrzymana z płaszczyzny zespolonej przez dodanie punktu w nieskończoności. Sfera jest geometryczną prezentacją rozszerzonego zbioru liczb zespolonych który zawiera wszystkie liczby zespolone oraz obiekt reprezentujący nieskończoność i oznaczany symbolem Nazwa pochodzi od matematyka z XIX wieku Bernharda Riemanna. Rozszerzony zbiór liczb zespolonych jest przydatny w analizie zespolonej, ponieważ pozwala w pewnych przypadkach na dzielenie przez zero, tzn. wyrażenia takie jak mają „wartość” w zbiorze Na przykład każda funkcja wymierna na płaszczyźnie zespolonej może być określona jako funkcja ciągła na sferze Riemanna, jeśli biegunom tej funkcji przypiszemy wartość Bardziej ogólnie, każdą funkcję meromorficzną można traktować jako funkcję ciągłą, której przeciwdziedziną jest sfera Riemanna. W geometrii sfera Riemanna jest przykładem powierzchni Riemanna i jedną z najprostszych rozmaitości zespolonych. (pl) Riemannsfären är ett matematiskt hjälpmedel för att utöka det komplexa talplanet till att även innefatta en oändlighet. Sfären kan visualiseras som enhetssfären placerad i det komplexa talplanet och med dess centrum i origo. Punkterna på riemannsfären har en bijektiv avbildning på det komplexa talplanet. Om en rät linje dras från punkten (0, 0, 1) till punkten A i det komplexa talplanet, är punktens avbildning P(A) linjens skärningspunkt med enhetssfären; se figur 1, där de sfäriska koordinaterna för avbildningen P(A) är (1, θ, φ). Alla punkter i talplanet kan entydigt avbildas på riemannsfären och omvänt, med undantag av punkten (0, 0, 1) som inte har en avbildning på det komplexa talplanet. En punkt i talplanet som förflyttar sig bort från origo, oavsett i vilken riktning, kommer att ha en avbildning på sfären som närmar sig punkten (0, 0, 1). Ju längre bort från origo punkten är, desto närmare punkten (0, 0, 1) hamnar avbildningen på riemannsfären. Det utvidgade komplexa talplanet ℂ’ kan tänkas uppdelat i två områden. Ett område utgörs av enhetscirkeln och alla komplexa tal som befinner sig innanför denna avbildas på riemannsfärens undre halva och övriga komplexa tal avbildas på dess övre. Det komplexa talet B i figur 1 ligger inom enhetscirkeln i det komplexa talplanet och avbildas därför på riemannssfärens undre halva. Punkten (0, 0, 0) (det komplexa talplanets origo) avbildas i P(0). (sv) Na matemática, a esfera de Riemann é uma maneira de ampliar o plano de números complexos com um ponto no infinito adicional, de uma maneira que faz com que expressões como sejam bem adequadas e úteis, pelo menos em determinados contextos. É nomeado devido ao matemático do século XIX Bernhard Riemann. É também chamada * complexa, notada , e * plano complexo estendido, notado ou . Em um nível puramente algébrico, os números complexos, com um elemento extra infinito, constituem um sistema conhecido como números complexos estendidos. Aritmética com o infinito não obedece todas as regras usuais da álgebra, e assim os números complexos estendidos não formam um corpo. No entanto, a esfera de Riemann é geométrica e analiticamente bem estabelecida, até ao infinito, é uma variedade complexa monodimensional, também chamado de superfície de Riemann. Em análise complexa, a esfera de Riemann facilita uma teoria elegante de funções meromórficas. A esfera de Riemann está presente na geometria projetiva e geometria algébrica como um exemplo fundamental de uma variedade complexa, espaço projetivo e variedade algébrica. Ele também encontra utilidade em outras disciplinas que dependem de análise e geometria, como a mecânica quântica e outros ramos da física. (pt) Сфера Рімана — ріманова поверхня, природна структура на розширеній комплексній площині яка є комплексною проективною прямою Іншими словами це модель розширеної комплексної площини, де до звичайної комплексної площини додається точка на нескінченності. Відповідно до моделі Рімана, точка «∞» наближається до дуже великих чисел, так само як точка «0» є близькою до дуже малих чисел. Як дійсний многовид дифеоморфна двовимірній сфері (uk) Сфе́ра Ри́мана — наглядное изображение множества в виде сферы, подобно тому, как множество действительных чисел изображают в виде прямой и как множество комплексных чисел изображает в виде плоскости. По этой причине термин «сфера Римана» часто используется как синоним к термину «множество комплексных чисел, дополненных бесконечно удалённой точкой», наряду с термином «расширенная комплексная плоскость». При более формальном подходе под сферой Римана понимается сфера в пространстве , задаваемая уравнением , со стереографической проекцией в плоскость , отождествляемой с комплексной плоскостью. Именно об этой формально определённой конструкции далее пойдёт речь. (ru) 数学上，黎曼球面是一种将複數平面加上一个无穷远点的扩张，使得下面这类公式至少在某种意义下有意义 它由19世纪数学家黎曼而得名。也称为 * 複射影直线，记为 ，和 * 扩充复平面，记为 或者. 从纯代数的角度，复数加上一个无穷远点构成一个数系称为扩充复数。无穷远点的算数有时和一般的代数规则不符，因此扩充复数不构成一个。但是，黎曼球面在几何和解析角度都行为良好，甚至在无穷远点也不例外；它是一个一维复流形，也称黎曼曲面。 复分析中，黎曼球面对于亚纯函数这个优雅的理论很有帮助。黎曼球面在射影几何和代数几何中作为复流形、射影空间和代数簇的基本例子到处出现。它在涉及分析和几何的其他学科也很有用，譬如量子力学和物理学其他分支。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/RiemannKugel.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.ima.umn.edu/~arnold/moebius/ https://archive.org/details/roadtorealitycom00penr_0 |
| dbo:wikiPageID | 30876799 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 21794 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1122588396 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cartesian_coordinates dbr:Projective_geometry dbr:Projective_space dbr:Projectively_extended_real_line dbr:Quantum_mechanics dbr:Meromorphic_function dbr:Bernhard_Riemann dbr:Dessin_d'enfant dbr:Determinant dbr:Holomorphic_function dbr:Homography dbr:Riemann_surface dbr:Douglas_N._Arnold dbr:Limit_of_a_function dbr:Isometry_(Riemannian_geometry) dbr:Multiplicative_inverse dbc:Riemann_surfaces dbr:Compact_space dbr:Complex_analysis dbr:Complex_number dbr:Complex_plane dbr:Continuous_function dbr:Mass dbr:Mathematics dbr:SO(3) dbr:Gaussian_curvature dbr:Gauss–Bonnet_theorem dbr:General_relativity dbr:Geometry dbr:Branches_of_physics dbr:Multiplication dbr:Möbius_transformation dbr:Conformal_equivalence dbr:Conformal_geometry dbr:Constant_curvature dbr:Cross-ratio dbr:Equivalence_class dbc:Bernhard_Riemann dbr:Smooth_function dbr:Stereographic_projection dbr:String_theory dbr:Subatomic_particle dbr:Closed_manifold dbr:Compactification_(mathematics) dbr:Complex_line dbr:Complex_manifold dbr:Complex_projective_plane dbr:Fubini–Study_metric dbr:Pole_(complex_analysis) dbr:Automorphism dbr:Azimuth dbr:Topology dbr:Well-behaved dbr:Addition dbr:Additive_inverse dbr:Algebraic_curve dbr:Algebraic_geometry dbc:Projective_geometry dbc:Spheres dbr:Field_(mathematics) dbr:Celestial_sphere dbr:Diffeomorphism dbr:Projective_line dbr:Projective_linear_group dbr:Rational_function dbr:Riemannian_manifold dbr:Riemannian_metric dbr:Group_(mathematics) dbr:Hyperbolic_space dbr:Biholomorphism dbr:Bloch_sphere dbr:Codomain dbr:Zenith dbr:Rotation_group_SO(3) dbr:Differentiable_manifold dbr:Directed_infinity dbr:Division_(mathematics) dbr:Division_by_zero dbr:Photon dbr:Photon_polarization dbr:Spherical_coordinates dbr:Spin_(physics) dbr:Indeterminate_form dbr:Infinity dbr:Metric_tensor dbr:Mathematical_model dbr:Topological_manifold dbr:Rotation dbr:Scaling_(geometry) dbr:Twistor_theory dbr:Uniformization_theorem dbr:Chart_(topology) dbr:Point_at_infinity dbr:Möbius_plane dbr:Worldsheet dbr:Manifold_with_boundary dbr:Transition_map dbr:Translation_(mathematics) dbr:Orientation_(mathematics) dbr:Oriented_surface dbr:Quantum_bit dbr:Conformal_manifold dbr:Projective_coordinates dbr:Simply-connected dbr:O(3) dbr:Hopf_bundle dbr:File:RiemannKugel.svg dbr:File:Mob3d-elip-opp-200.png dbr:File:RiemannSphere.png |
| dbp:id | p/r082010 (en) |
| dbp:title | Riemann sphere (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:Cite_book dbt:Commons_category dbt:Main_article dbt:More_footnotes dbt:Page_numbers_needed dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Bernhard_Riemann dbt:Algebraic_curves_navbox |
| dcterms:subject | dbc:Riemann_surfaces dbc:Bernhard_Riemann dbc:Projective_geometry dbc:Spheres |
| gold:hypernym | dbr:Model |
| rdf:type | dbo:Person yago:Artifact100021939 yago:Object100002684 yago:PhysicalEntity100001930 yago:Surface104362025 yago:Whole100003553 yago:WikicatRiemannSurfaces yago:WikicatSurfaces |
| rdfs:comment | في الرياضيات، كرة ريمان، نسبة إلى عَالِم الرياضيات الشهير بيرنارد ريمان، هي النموذج الرياضي الذي يمكن من إظهار المستوى العقدي الممدد (المستوى العقدي إضافة لنقطة في اللانهاية) بحيث يبدو من نقطة اللانهاية ممائلا لشكله عند أي عدد عقدي، بالذات بالنسبة . (ar) Komplexní číslo lze znázornit na tzv. Riemannově sféře. Jedná se o povrch koule, která se svým jižním pólem dotýká Gaussovy roviny v jejím počátku. Spojením libovolného bodu Gaussovy roviny se severním pólem Riemannovy koule dostaneme bod . Přiřazení bodů a je vzájemně jednoznačné. Severnímu pólu odpovídá nevlastní bod . (cs) La kompleksa ebeno povas esti etendita per unu plia nombro . La modelo de la etendita kompleksa ebeno estas la 2-dimensia sfero, kaj oni nomas tiun modelon la . Ĉi tiun modelon oni ofte traktas kiel 1-dimensia kompleksa sternaĵo. Ofte oni ne distingas inter Rimana sfero aŭ etendita kompleksa ebeno (aŭ etenditaj kompleksaj nombroj). (eo) En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l'infini, de manière que certaines expressions mathématiques deviennent convergentes et élégantes, du moins dans certains contextes. Déjà envisagée par le mathématicien Carl Friedrich Gauss, elle est baptisée du nom de son élève Bernhard Riemann. Ce plan s'appelle également la droite projective complexe, dénoté . (fr) 数学においてリーマン球面（リーマンきゅうめん、英語: Riemann sphere）は、無限遠点 ∞ を一点追加して複素平面を拡張したものである。このとき、関係式 1/0 = ∞ を、意味を持ち、整合的であり、かつ有用となるように構成できる。19 世紀の数学者ベルンハルト・リーマンから名付けられた。これはまた、以下のようにも呼ばれる。 * 複素射影直線と言い、CP1 と書く。 * 拡張複素平面と言い、 または C ∪ {∞} と書く。 純代数的には、無限遠点を追加した複素数全体は、拡張複素数として知られる数体系を構成する。無限遠点を伴う算術は、通常の代数規則すべてには従わず、拡張複素数全体は体を構成しない。しかしリーマン球面は、幾何学的また解析学的に無限遠においてさえもよく振舞い、リーマン面とも呼ばれる 1-次元複素多様体をなす。 複素解析において、リーマン球面は有理型関数の洗練された理論で重要な役割を果たす。リーマン球面は、射影幾何学や代数幾何学では、複素多様体、射影空間、代数多様体の根源的な事例として常に登場する。リーマン球面はまた、量子力学その他の物理学の分野等、解析学と幾何学に依存する他の学問分野においても、有用性を発揮している。 (ja) 복소해석학에서 리만 구(Riemann球, 영어: Riemann sphere)는 복소 구조를 가진 3차원 구이다. 기호는 . (ko) De riemann-sfeer, sfeer van Riemann of riemannbol is in de wiskunde een manier om het complexe vlak met een extra punt op oneindig uit te breiden, zodat anders onbepaalde uitdrukkingen als in bepaalde contexten een zinvolle betekenis krijgen. De riemann-sfeer is genoemd naar de 19e-eeuwse wiskundige Bernhard Riemann en wordt ook wel aangeduid als * De complexe projectieve lijn * Het uitgebreide complexe vlak of (de complexe getallen C verenigd met oneindig). (nl) Сфера Рімана — ріманова поверхня, природна структура на розширеній комплексній площині яка є комплексною проективною прямою Іншими словами це модель розширеної комплексної площини, де до звичайної комплексної площини додається точка на нескінченності. Відповідно до моделі Рімана, точка «∞» наближається до дуже великих чисел, так само як точка «0» є близькою до дуже малих чисел. Як дійсний многовид дифеоморфна двовимірній сфері (uk) 数学上，黎曼球面是一种将複數平面加上一个无穷远点的扩张，使得下面这类公式至少在某种意义下有意义 它由19世纪数学家黎曼而得名。也称为 * 複射影直线，记为 ，和 * 扩充复平面，记为 或者. 从纯代数的角度，复数加上一个无穷远点构成一个数系称为扩充复数。无穷远点的算数有时和一般的代数规则不符，因此扩充复数不构成一个。但是，黎曼球面在几何和解析角度都行为良好，甚至在无穷远点也不例外；它是一个一维复流形，也称黎曼曲面。 复分析中，黎曼球面对于亚纯函数这个优雅的理论很有帮助。黎曼球面在射影几何和代数几何中作为复流形、射影空间和代数簇的基本例子到处出现。它在涉及分析和几何的其他学科也很有用，譬如量子力学和物理学其他分支。 (zh) En matemàtiques, l'esfera de Riemann (o pla complex estès), que pren el nom del matemàtic del segle XIX Bernhard Riemann, és una esfera que s'obté a partir del pla complex afegent-hi un . L'esfera és la representació geomètrica de l'extensió dels nombres complexos , que consisteix en els nombres complexos juntament amb el símbol que representa l'infinit. (ca) Στα μαθηματικά, η σφαίρα του Riemann, η οποία πήρε το όνομά της από τον μαθηματικό του 19ου αιώνα Bernhard Riemann, είναι ένα μοντέλο του επεκτεταμένου μιγαδικού επιπέδου, δηλαδή του μιγαδικού επιπέδου συμπληρωμένου με ένα σημείο στο άπειρο. Αυτό το επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο απεικονίζει τους επεκτεταμένους μιγαδικούς αριθμούς, οι οποίοι είναι οι μιγαδικοί αριθμοί μαζί με την τιμή "∞" για το άπειρο. Με το μοντέλο του Riemann, το σημείο "∞" είναι κοντά στους πολύ μεγάλους αριθμούς, όπως το σημείο "0" είναι κοντά στους πολύ μικρούς αριθμούς. (el) In der Mathematik ist die riemannsche Zahlenkugel die riemannsche Fläche, die sich aus der Hinzunahme eines Punktes in der Unendlichkeit zu der komplexen Ebene ergibt. Sie geht zurück auf Bernhard Riemann. Die komplexe Struktur der riemannschen Zahlenkugel wird durch zwei Karten gegeben. Die erste ist auf definiert und ist die Identität. Die zweite ist auf der Umgebung des unendlich fernen Punkts definiert durch Die Automorphismen, also die biholomorphen Abbildungen der riemannschen Zahlenkugel auf sich selbst, bilden die Gruppe der Möbiustransformationen. (de) En matemática, la esfera de Riemann (o plano complejo extendido), llamada así en honor al matemático del siglo XIX Bernhard Riemann, es una esfera obtenida del plano complejo mediante la adición de un punto del infinito. La esfera es la representación geométrica de los números complejos extendidos, denotado como ó , (véase fig.1 y fig.2), la cual consiste en los números complejos ordinarios en conjunción con el símbolo para representar el infinito. (es) In mathematics, the Riemann sphere, named after Bernhard Riemann, is a model of the extended complex plane: the complex plane plus one point at infinity. This extended plane represents the extended complex numbers, that is, the complex numbers plus a value for infinity. With the Riemann model, the point is near to very large numbers, just as the point is near to very small numbers. The extended complex plane is also called the closed complex plane. (en) In matematica e più precisamente in analisi complessa, la sfera di Riemann è una particolare superficie di Riemann, definita aggiungendo un "punto all'infinito" al piano complesso. È anche chiamata retta proiettiva complessa, in simboli o piano complesso esteso, in simboli È possibile quindi vedere la sfera di Riemann da diverse prospettive tra loro complementari. A livello algebrico si considera il punto all'infinito come risultato dell'operazione (it) Sfera Riemanna lub płaszczyzna zespolona domknięta – sfera otrzymana z płaszczyzny zespolonej przez dodanie punktu w nieskończoności. Sfera jest geometryczną prezentacją rozszerzonego zbioru liczb zespolonych który zawiera wszystkie liczby zespolone oraz obiekt reprezentujący nieskończoność i oznaczany symbolem Nazwa pochodzi od matematyka z XIX wieku Bernharda Riemanna. W geometrii sfera Riemanna jest przykładem powierzchni Riemanna i jedną z najprostszych rozmaitości zespolonych. (pl) Na matemática, a esfera de Riemann é uma maneira de ampliar o plano de números complexos com um ponto no infinito adicional, de uma maneira que faz com que expressões como sejam bem adequadas e úteis, pelo menos em determinados contextos. É nomeado devido ao matemático do século XIX Bernhard Riemann. É também chamada * complexa, notada , e * plano complexo estendido, notado ou . (pt) Riemannsfären är ett matematiskt hjälpmedel för att utöka det komplexa talplanet till att även innefatta en oändlighet. Sfären kan visualiseras som enhetssfären placerad i det komplexa talplanet och med dess centrum i origo. Punkterna på riemannsfären har en bijektiv avbildning på det komplexa talplanet. Om en rät linje dras från punkten (0, 0, 1) till punkten A i det komplexa talplanet, är punktens avbildning P(A) linjens skärningspunkt med enhetssfären; se figur 1, där de sfäriska koordinaterna för avbildningen P(A) är (1, θ, φ). (sv) Сфе́ра Ри́мана — наглядное изображение множества в виде сферы, подобно тому, как множество действительных чисел изображают в виде прямой и как множество комплексных чисел изображает в виде плоскости. По этой причине термин «сфера Римана» часто используется как синоним к термину «множество комплексных чисел, дополненных бесконечно удалённой точкой», наряду с термином «расширенная комплексная плоскость». (ru) |
| rdfs:label | كرة ريمان (ar) Esfera de Riemann (ca) Riemannova sféra (cs) Riemannsche Zahlenkugel (de) Σφαίρα του Ρίμαν (el) Rimana sfero (eo) Esfera de Riemann (es) Sfera di Riemann (it) Sphère de Riemann (fr) 리만 구 (ko) リーマン球面 (ja) Riemann-sfeer (nl) Riemann sphere (en) Sfera Riemanna (pl) Esfera de Riemann (pt) Сфера Римана (ru) Riemannsfären (sv) 黎曼球面 (zh) Сфера Рімана (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Riemann sphere yago-res:Riemann sphere wikidata:Riemann sphere dbpedia-ar:Riemann sphere http://ast.dbpedia.org/resource/Esfera_de_Riemann http://ba.dbpedia.org/resource/Риман_сфераһы dbpedia-ca:Riemann sphere dbpedia-cs:Riemann sphere dbpedia-de:Riemann sphere dbpedia-el:Riemann sphere dbpedia-eo:Riemann sphere dbpedia-es:Riemann sphere dbpedia-fa:Riemann sphere dbpedia-fi:Riemann sphere dbpedia-fr:Riemann sphere dbpedia-gl:Riemann sphere dbpedia-he:Riemann sphere dbpedia-it:Riemann sphere dbpedia-ja:Riemann sphere dbpedia-ko:Riemann sphere dbpedia-nl:Riemann sphere dbpedia-no:Riemann sphere dbpedia-pl:Riemann sphere dbpedia-pt:Riemann sphere dbpedia-ru:Riemann sphere dbpedia-simple:Riemann sphere dbpedia-sk:Riemann sphere dbpedia-sl:Riemann sphere dbpedia-sr:Riemann sphere dbpedia-sv:Riemann sphere dbpedia-tr:Riemann sphere dbpedia-uk:Riemann sphere dbpedia-zh:Riemann sphere https://global.dbpedia.org/id/4yx8Z |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Riemann_sphere?oldid=1122588396&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/RiemannKugel.svg wiki-commons:Special:FilePath/Mob3d-elip-opp-200.png wiki-commons:Special:FilePath/RiemannSphere.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Riemann_sphere |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:C-* dbr:Rieman_sphere dbr:Riemann_Sphere dbr:Riemann's_sphere dbr:Lewis_sphere dbr:Complex_closed_curve dbr:Complex_projective_line dbr:Complex_sphere dbr:Extended_complex_number dbr:Extended_complex_numbers dbr:Extended_complex_plane dbr:Sphere_of_Riemann |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Belyi's_theorem dbr:Projective_space dbr:Projectively_extended_real_line dbr:Schwarz's_list dbr:Schwarz_triangle dbr:Schwarzian_derivative dbr:List_of_complex_analysis_topics dbr:Meromorphic_function dbr:One-dimensional_space dbr:C-* dbr:Borel–Weil–Bott_theorem dbr:Dessin_d'enfant dbr:Algebraic_function dbr:Algebraic_manifold dbr:Almost_complex_manifold dbr:Homography dbr:Homotopy_groups_of_spheres dbr:Hopf_fibration dbr:Hypergeometric_function dbr:Julia_set dbr:Representation_theory_of_the_Lorentz_group dbr:Rhumb_line dbr:Riemann_surface dbr:Riemann_zeta_function dbr:Deformation_(mathematics) dbr:ELSV_formula dbr:Indra's_Pearls_(book) dbr:Inversive_geometry dbr:Problem_of_Apollonius dbr:List_of_important_publications_in_mathematics dbr:List_of_scientific_laws_named_after_people dbr:Zeros_and_poles dbr:0.999... dbr:Complex_number dbr:Complex_plane dbr:Cosmology dbr:Escaping_set dbr:Essential_singularity dbr:Low-dimensional_topology dbr:Nevanlinna_theory dbr:Period_mapping dbr:SL2(R) dbr:Timeline_of_manifolds dbr:Alexander_duality dbr:Entire_function dbr:Gamma_function dbr:Generalized_continued_fraction dbr:Branch_point dbr:Mutation_(Jordan_algebra) dbr:Möbius_transformation dbr:N-sphere dbr:Conformal_field_theory dbr:Conformal_geometry dbr:Conformal_group dbr:Conformal_map dbr:Conformal_radius dbr:Cross-ratio dbr:Erica_Klarreich dbr:Wheel_theory dbr:Oper_(mathematics) dbr:Lemniscate_elliptic_functions dbr:Lisa_Goldberg dbr:Lorentz_group dbr:Singularity_(mathematics) dbr:Small_stellated_dodecahedron dbr:Stereographic_projection dbr:Compactification_(mathematics) dbr:Complex_line dbr:Complex_manifold dbr:Complex_measure dbr:Complex_projective_plane dbr:Complex_projective_space dbr:Complex_quadratic_polynomial dbr:Fubini–Study_metric dbr:Fuchsian_group dbr:Function_field_of_an_algebraic_variety dbr:Fundamental_polygon dbr:Harmonic_superspace dbr:Plane_(geometry) dbr:Symmetric_product_(topology) dbr:Symmetric_product_of_an_algebraic_curve dbr:Non-linear_sigma_model dbr:1_+_2_+_4_+_8_+_⋯ dbr:Automorphism dbr:Cayley_transform dbr:Ahlfors_measure_conjecture dbr:Weierstrass_factorization_theorem dbr:Weil_conjectures dbr:Wigner's_theorem dbr:Drinfeld_upper_half_plane dbr:Dual_bundle dbr:Line_at_infinity dbr:Linear_fractional_transformation dbr:No-wandering-domain_theorem dbr:Riemann–Hurwitz_formula dbr:3-sphere dbr:Affine_space dbr:Algebraic_geometry_and_analytic_geometry dbr:Algebraic_variety dbr:Dual_number dbr:Brennan_conjecture dbr:Bring_radical dbr:Carathéodory's_theorem_(conformal_mapping) dbr:Charts_on_SO(3) dbr:Hilbert's_twenty-first_problem dbr:Isolated_singularity dbr:Isomorphism dbr:Iterated_monodromy_group dbr:Lefschetz_pencil dbr:Simply_connected_space dbr:Normal_family dbr:Lucjan_Böttcher dbr:Projection_(mathematics) dbr:Projective_line dbr:Rational_function dbr:Regular_singular_point dbr:Gudermannian_function dbr:James_W._Cannon dbr:Hurwitz's_automorphisms_theorem dbr:Hyperbolic_geometry dbr:Hyperelliptic_curve dbr:Mary_Rees dbr:Topological_K-theory dbr:Samuel_Lattès dbr:Smith_chart dbr:Rieman_sphere dbr:Riemann_Sphere dbr:Chern_class dbr:Bloch_sphere dbr:Symmetric_cone dbr:Hermitian_symmetric_space dbr:Homogeneous_coordinates dbr:Teichmüller_space dbr:Modular_curve dbr:Dimension dbr:Division_by_zero dbr:Divisor_(algebraic_geometry) dbr:Domain_coloring dbr:Associated_Legendre_polynomials dbr:Butcher_group dbr:C_mathematical_functions dbr:Phragmén–Lindelöf_principle dbr:Ping-pong_lemma dbr:Sphere dbr:Spherical_harmonics dbr:Free_abelian_group dbr:Infinity dbr:Orthogonal_group dbr:Canonical_bundle dbr:Real_projective_line dbr:Klein_surface dbr:Kleinian_group dbr:Schottky_group dbr:Uniformization_theorem dbr:Pochhammer_contour dbr:External_ray dbr:List_of_things_named_after_Bernhard_Riemann dbr:Planar_Riemann_surface dbr:Point_at_infinity dbr:Runge's_theorem dbr:Poincaré_metric dbr:Residue_at_infinity dbr:Schoenflies_problem dbr:Motor_variable dbr:Picard_theorem dbr:Picard–Fuchs_equation dbr:Siegel_disc dbr:Witt_algebra dbr:Periodic_points_of_complex_quadratic_mappings dbr:Spijker's_lemma dbr:Vector_bundles_on_algebraic_curves dbr:Spherical_wave_transformation dbr:Riemann's_differential_equation dbr:Riemann_mapping_theorem dbr:Riemann–Roch_theorem dbr:Riemann's_sphere dbr:Lewis_sphere dbr:Complex_closed_curve dbr:Complex_projective_line dbr:Complex_sphere dbr:Extended_complex_number dbr:Extended_complex_numbers dbr:Extended_complex_plane dbr:Sphere_of_Riemann |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Riemann_sphere |
