Stiff equation (original) (raw)
Une équation différentielle raide est une équation différentielle dont la sensibilité aux paramètres va rendre difficile la résolution par des méthodes numériques explicites. Plusieurs explications, aussi bien physiques que mathématiques, peuvent permettre d'appréhender la notion de raideur, qui reste difficilement formulable.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Ein steifes Anfangswertproblem ist in der Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen ein Anfangswertproblem bei dem explizite Einschrittverfahren oder Mehrschrittverfahren wegen ihres beschränkten Stabilitätsgebiets erhebliche Schwierigkeiten haben.Dies ist dann der Fall, wenn die Konstante in der Lipschitzbedingung (vgl. Satz von Picard-Lindelöf) große Werte annimmt, die Lösung aber recht glatt verläuft.In diesem Fall könnten numerische Verfahren diese Lösung mit relativ großen Schrittweiten genau approximieren, explizite Verfahren werden aber wegen des beschränkten Stabilitätsgebiets gezwungen, kleine Schrittweiten zu verwenden.Typischerweise treten steife Anfangswertprobleme bei der numerischen Approximation von parabolischen partiellen Differentialgleichungen nach erfolgter Diskretisierung im Ortsbereich auf. Ein Beispiel ist das Crank-Nicolson-Verfahren, bei dem im Ort eine Finite-Differenzen-Methode und in Zeitrichtung die implizite Trapez-Methode eingesetzt wird. (de) Une équation différentielle raide est une équation différentielle dont la sensibilité aux paramètres va rendre difficile la résolution par des méthodes numériques explicites. Plusieurs explications, aussi bien physiques que mathématiques, peuvent permettre d'appréhender la notion de raideur, qui reste difficilement formulable. (fr) In mathematics, a stiff equation is a differential equation for which certain numerical methods for solving the equation are numerically unstable, unless the step size is taken to be extremely small. It has proven difficult to formulate a precise definition of stiffness, but the main idea is that the equation includes some terms that can lead to rapid variation in the solution. When integrating a differential equation numerically, one would expect the requisite step size to be relatively small in a region where the solution curve displays much variation and to be relatively large where the solution curve straightens out to approach a line with slope nearly zero. For some problems this is not the case. In order for a numerical method to give a reliable solution to the differential system sometimes the step size is required to be at an unacceptably small level in a region where the solution curve is very smooth. The phenomenon is known as stiffness. In some cases there may be two different problems with the same solution, yet one is not stiff and the other is. The phenomenon cannot therefore be a property of the exact solution, since this is the same for both problems, and must be a property of the differential system itself. Such systems are thus known as stiff systems. (en) 数学・数値解析において硬い方程式（英: stiff equation）は、常微分方程式の数値解法・偏微分方程式の数値解法において、刻み幅を極めて小さくしない限り、数値的不安定になる微分方程式である。硬さを的確に定義するのが困難であると判明したが、方程式に解の急激な変化を起こせる項が含まれていることは確かである。 (ja) In matematica, un'equazione rigida (in inglese stiff: rigido, duro, difficile) è un'equazione differenziale per la quale certi metodi di soluzione sono numericamente instabili a meno che il passo d'integrazione sia preso estremamente piccolo. Si è rivelato difficile formulare una definizione precisa di rigidità ma l'idea principale è quella che queste equazioni includano alcuni termini che possano portare ad una rapida variazione della soluzione. Quando si integra numericamente un'equazione differenziale, ci si aspetterebbe che il passo di integrazione richiesto sia relativamente piccolo in una regione in cui la soluzione mostra una forte variazione, e che sia relativamente grande quando la soluzione si avvicina ad una curva con pendenza vicina a zero. Per alcuni problemi non è così: a volte il passo d'integrazione viene imposto troppo piccolo in regioni dove la soluzione è molto dolce. Questo fenomeno è noto come rigidità (stiffness). In alcun casi è possibile avere due differenti problemi con la stessa soluzione dove uno dei due non è rigido, mentre l'altro è rigido. Chiaramente il fenomeno non può essere una proprietà della soluzione esatta, dal momento che questa è la stessa per entrambi i problemi, e deve quindi essere una proprietà del sistema differenziale stesso. È appropriato allora parlare di sistemi rigidi o stiff. (it) Równania sztywne – równania różniczkowe, których rozwiązania niektórymi metodami numerycznymi mimo małego kroku całkowania są niestabilne. Zdefiniowanie, które równania różniczkowe należą do klasy równań sztywnych nastręcza trudności, ponieważ nie istnieje precyzyjna definicja sztywności. Jednak główna idea opiera się na fakcie, że równania sztywne zawierają człony, które mogą prowadzić do szybkiej zmiany w rozwiązaniu. Jedna z pierwszych metod numerycznych przeznaczonych do tych równań została opisana przez K.C. Sparka. (pl) Жорстке диференціальне рівняння — це диференціальне рівняння, для якого складно отримати розв'язок за допомогою чисельних методів типу Адамса чи Рунге-Кутти. Строгого загальноприйнятого математичного визначення жорстких диференціальних рівнянь та жорстких систем диференціальних рівнянь немає. Жорсткість — це більше концепція для чисельного розв'язку звичайних диференціальних рівнянь. До жорстких систем відносяться задачі хімічної кінетики, нестаціонарні процеси у складних електронних схемах, задачі теплопровідності та дифузії та багато інших. Диференціальне рівняння порядку n має у загальному випадку n сталих часу, і, коли деякі з них значно відрізняються за величиною, або одна з них достатньо мала порівняно з інтервалом часу, на якому шукають розв'язок, то задача стає «жорсткою» і її практично неможливо розв'язати звичайними чисельними методами. В таких випадках крок повинен бути дуже малим, щоб можна було враховувати приріст тих складових розв'язку, які найшвидше змінюються, навіть після того, як їх внесок стане практично непомітним. Але зменшення кроку веде до збільшення часу обчислень і накопичення похибок. Класичні прямі (явні) методи типу Адамса чи Рунге-Кутти вимагають як правило для розв'язку неприйнятно дрібного кроку. Тому для цих рівнянь застосовують . (uk) Жёсткой системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) называется (нестрого говоря) такая система ОДУ, численное решение которой явными методами (например, методами Рунге — Кутты или Адамса) является неудовлетворительным из-за резкого увеличения числа вычислений (при малом шаге интегрирования) или из-за резкого возрастания погрешности (так называемого, взрыва погрешности) при недостаточно малом шаге. Для жёстких систем характерно то, что для них неявные методы дают лучший результат, обычно несравненно более хороший, чем явные методы. (ru) 在数学領域中，剛性方程（stiffness equation）是指一个微分方程，其數值分析的解只有在時間間隔很小時才會穩定，只要時間間隔略大，其解就會不穩定。目前很難去精确地去定義哪些微分方程是刚性方程，然而粗略而言，若此方程式中包含使其快速變動的項，則其為剛性方程。 在積分微分方程時，若某一區域的的變化很大，會希望在這個區域的積分間隔密一些，若另一區域的曲線近似直線，且斜率接近零，會希望在這個區域的積分間隔鬆一些。不過針對一些問題，就算曲線近似直線，仍然需要用非常小的積分間隔來積分，這種現象稱為「剛性」。有時可能會出現兩個不同問題，一個有「剛性」，另一個沒有，但兩個問題卻有同一個解的情形。因此「剛性」不是解本身的特性，而是微分方程的特性，也可以稱為是刚性系統。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/StiffEquationNumericalSolvers.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://archive.org/details/advancedengineer00krey https://archive.org/details/numericalanalysi00burd http://www.geometrictools.com/Documentation/StabilityAnalysis.pdf https://www.cs.cmu.edu/~baraff/pbm/energons.pdf https://cs.uwaterloo.ca/research/tr/1969/CS-RR-2010.pdf http://homepages.cwi.nl/~jason/Classes/numwisk/ch10.pdf https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01711390/document http://www.scholarpedia.org/article/Stiff_systems http://apps.nrbook.com/empanel/index.html%23pg=931 |
| dbo:wikiPageID | 2091823 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 25921 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1117712396 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Prentice_Hall dbr:Scholarpedia dbr:Euler's_method dbr:Hooke's_law dbr:University_of_Waterloo dbr:L-stability dbr:John_Wiley_&_Sons dbr:Mathematics dbr:Chemical_kinetics dbr:Chemical_reaction dbr:Eigenvalue dbr:Germund_Dahlquist dbr:Condition_number dbr:Control_system dbr:Stiffness dbr:Harmonic_oscillator dbr:Numerical_stability dbr:Autochem dbr:Linear_multistep_method dbr:American_Mathematical_Society dbr:Numerical_analysis dbr:Differential_equation dbr:Differential_inclusion dbr:Kinetic_PreProcessor dbr:Rational_function dbr:Recurrence_relation dbr:Backward_differentiation_formula dbc:Numerical_differential_equations dbr:Academic_Press dbr:Chapman_&_Hall dbr:Polynomial dbr:Society_for_Industrial_and_Applied_Mathematics dbr:Initial_value_problem dbr:Ordinary_differential_equation dbr:Numerical_solution dbr:Servomechanism dbr:Euler_method dbr:Explicit_and_implicit_methods dbr:Trapezoidal_rule_(differential_equations) dbr:Triangular_matrix dbr:Runge–Kutta_method dbr:Joseph_Oakland_Hirschfelder dbr:Driven_oscillations dbr:Solution_curve dbr:Springer-Verlag dbr:Implicit_Euler_method dbr:Numerical_ordinary_differential_equations dbr:Prindle,_Weber_and_Schmidt dbr:File:Stability_region_for_Euler_method.svg dbr:Doi:10.4249/scholarpedia.2855 dbr:File:Stability_region_for_AB2_method.svg dbr:File:Stability_region_for_trapezoidal_method.svg dbr:File:StiffEquationNumericalSolvers.svg dbr:Lawrence_F._Shampine dbr:Order_star dbr:Skip_Thompson |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Authority_control dbt:Citation dbt:Citation_needed dbt:Cite_book dbt:NumBlk dbt:Ordered_list dbt:Short_description dbt:EquationRef dbt:EquationNote |
| dcterms:subject | dbc:Numerical_differential_equations |
| gold:hypernym | dbr:Equation |
| rdf:type | owl:Thing yago:WikicatNumericalDifferentialEquations yago:WikicatOrdinaryDifferentialEquations yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:DifferentialEquation106670521 yago:Equation106669864 yago:MathematicalStatement106732169 yago:Message106598915 yago:Statement106722453 yago:WikicatDifferentialEquations |
| rdfs:comment | Une équation différentielle raide est une équation différentielle dont la sensibilité aux paramètres va rendre difficile la résolution par des méthodes numériques explicites. Plusieurs explications, aussi bien physiques que mathématiques, peuvent permettre d'appréhender la notion de raideur, qui reste difficilement formulable. (fr) 数学・数値解析において硬い方程式（英: stiff equation）は、常微分方程式の数値解法・偏微分方程式の数値解法において、刻み幅を極めて小さくしない限り、数値的不安定になる微分方程式である。硬さを的確に定義するのが困難であると判明したが、方程式に解の急激な変化を起こせる項が含まれていることは確かである。 (ja) Równania sztywne – równania różniczkowe, których rozwiązania niektórymi metodami numerycznymi mimo małego kroku całkowania są niestabilne. Zdefiniowanie, które równania różniczkowe należą do klasy równań sztywnych nastręcza trudności, ponieważ nie istnieje precyzyjna definicja sztywności. Jednak główna idea opiera się na fakcie, że równania sztywne zawierają człony, które mogą prowadzić do szybkiej zmiany w rozwiązaniu. Jedna z pierwszych metod numerycznych przeznaczonych do tych równań została opisana przez K.C. Sparka. (pl) Жёсткой системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) называется (нестрого говоря) такая система ОДУ, численное решение которой явными методами (например, методами Рунге — Кутты или Адамса) является неудовлетворительным из-за резкого увеличения числа вычислений (при малом шаге интегрирования) или из-за резкого возрастания погрешности (так называемого, взрыва погрешности) при недостаточно малом шаге. Для жёстких систем характерно то, что для них неявные методы дают лучший результат, обычно несравненно более хороший, чем явные методы. (ru) 在数学領域中，剛性方程（stiffness equation）是指一个微分方程，其數值分析的解只有在時間間隔很小時才會穩定，只要時間間隔略大，其解就會不穩定。目前很難去精确地去定義哪些微分方程是刚性方程，然而粗略而言，若此方程式中包含使其快速變動的項，則其為剛性方程。 在積分微分方程時，若某一區域的的變化很大，會希望在這個區域的積分間隔密一些，若另一區域的曲線近似直線，且斜率接近零，會希望在這個區域的積分間隔鬆一些。不過針對一些問題，就算曲線近似直線，仍然需要用非常小的積分間隔來積分，這種現象稱為「剛性」。有時可能會出現兩個不同問題，一個有「剛性」，另一個沒有，但兩個問題卻有同一個解的情形。因此「剛性」不是解本身的特性，而是微分方程的特性，也可以稱為是刚性系統。 (zh) Ein steifes Anfangswertproblem ist in der Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen ein Anfangswertproblem bei dem explizite Einschrittverfahren oder Mehrschrittverfahren wegen ihres beschränkten Stabilitätsgebiets erhebliche Schwierigkeiten haben.Dies ist dann der Fall, wenn die Konstante in der Lipschitzbedingung (vgl. Satz von Picard-Lindelöf) (de) In mathematics, a stiff equation is a differential equation for which certain numerical methods for solving the equation are numerically unstable, unless the step size is taken to be extremely small. It has proven difficult to formulate a precise definition of stiffness, but the main idea is that the equation includes some terms that can lead to rapid variation in the solution. (en) In matematica, un'equazione rigida (in inglese stiff: rigido, duro, difficile) è un'equazione differenziale per la quale certi metodi di soluzione sono numericamente instabili a meno che il passo d'integrazione sia preso estremamente piccolo. Si è rivelato difficile formulare una definizione precisa di rigidità ma l'idea principale è quella che queste equazioni includano alcuni termini che possano portare ad una rapida variazione della soluzione. (it) Жорстке диференціальне рівняння — це диференціальне рівняння, для якого складно отримати розв'язок за допомогою чисельних методів типу Адамса чи Рунге-Кутти. Строгого загальноприйнятого математичного визначення жорстких диференціальних рівнянь та жорстких систем диференціальних рівнянь немає. Жорсткість — це більше концепція для чисельного розв'язку звичайних диференціальних рівнянь. До жорстких систем відносяться задачі хімічної кінетики, нестаціонарні процеси у складних електронних схемах, задачі теплопровідності та дифузії та багато інших. (uk) |
| rdfs:label | Steifes Anfangswertproblem (de) Équation différentielle raide (fr) Equazione rigida (it) 硬い方程式 (ja) Równanie sztywne (pl) Stiff equation (en) Жёсткая система (ru) Жорстке диференціальне рівняння (uk) 刚性方程 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Stiff equation yago-res:Stiff equation wikidata:Stiff equation dbpedia-de:Stiff equation dbpedia-fr:Stiff equation dbpedia-it:Stiff equation dbpedia-ja:Stiff equation dbpedia-pl:Stiff equation dbpedia-ru:Stiff equation dbpedia-uk:Stiff equation dbpedia-zh:Stiff equation https://global.dbpedia.org/id/2kXFA |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Stiff_equation?oldid=1117712396&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Stability_region_for_AB2_method.svg wiki-commons:Special:FilePath/Stability_region_for_Euler_method.svg wiki-commons:Special:FilePath/Stability_region_for_trapezoidal_method.svg wiki-commons:Special:FilePath/StiffEquationNumericalSolvers.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Stiff_equation |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Stiff |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:A-stability dbr:A-stable dbr:Stiff_Differential_Equation dbr:Stiff_ODE dbr:Stiff_differential_equation dbr:Stiff_ordinary_differential_equation dbr:Stiff_partial_differential_equation dbr:Stiff_problem dbr:Stiff_system dbr:Stiffness_(mathematics) dbr:Stiffness_ratio |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:L-stability dbr:List_of_numerical_analysis_topics dbr:Logistic_map dbr:Numerical_stability dbr:Stiff dbr:Vyacheslav_Ivanovich_Lebedev dbr:Linear_multistep_method dbr:Local_linearization_method dbr:Numerical_methods_for_ordinary_differential_equations dbr:Differential_inclusion dbr:Hans_B._Pacejka dbr:Backward_Euler_method dbr:Backward_differentiation_formula dbr:Soft-body_dynamics dbr:Scramjet dbr:Uniformization_(probability_theory) dbr:Euler_method dbr:Explicit_and_implicit_methods dbr:Exponential_integrator dbr:Trapezoidal_rule_(differential_equations) dbr:Rosenbrock_methods dbr:Runge–Kutta_methods dbr:A-stability dbr:A-stable dbr:Stiff_Differential_Equation dbr:Stiff_ODE dbr:Stiff_differential_equation dbr:Stiff_ordinary_differential_equation dbr:Stiff_partial_differential_equation dbr:Stiff_problem dbr:Stiff_system dbr:Stiffness_(mathematics) dbr:Stiffness_ratio |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Stiff_equation |
