Adaptive Simpson's method (original) (raw)
Adaptive Simpson's method, also called adaptive Simpson's rule, is a method of numerical integration proposed by G.F. Kuncir in 1962. It is probably the first recursive adaptive algorithm for numerical integration to appear in print, although more modern adaptive methods based on Gauss–Kronrod quadrature and Clenshaw–Curtis quadrature are now generally preferred. Adaptive Simpson's method uses an estimate of the error we get from calculating a definite integral using Simpson's rule. If the error exceeds a user-specified tolerance, the algorithm calls for subdividing the interval of integration in two and applying adaptive Simpson's method to each subinterval in a recursive manner. The technique is usually much more efficient than composite Simpson's rule since it uses fewer function evalua
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| dbo:abstract | Adaptive Simpson's method, also called adaptive Simpson's rule, is a method of numerical integration proposed by G.F. Kuncir in 1962. It is probably the first recursive adaptive algorithm for numerical integration to appear in print, although more modern adaptive methods based on Gauss–Kronrod quadrature and Clenshaw–Curtis quadrature are now generally preferred. Adaptive Simpson's method uses an estimate of the error we get from calculating a definite integral using Simpson's rule. If the error exceeds a user-specified tolerance, the algorithm calls for subdividing the interval of integration in two and applying adaptive Simpson's method to each subinterval in a recursive manner. The technique is usually much more efficient than composite Simpson's rule since it uses fewer function evaluations in places where the function is well-approximated by a cubic function. A criterion for determining when to stop subdividing an interval, suggested by J.N. Lyness, is where is an interval with midpoint , , , and are the estimates given by Simpson's rule on the corresponding intervals and is the desired tolerance for the interval. Simpson's rule is an interpolatory quadrature rule which is exact when the integrand is a polynomial of degree three or lower. Using Richardson extrapolation, the more accurate Simpson estimate for six function values is combined with the less accurate estimate for three function values by applying the correction . The thus obtained estimate is exact for polynomials of degree five or less. (en) Quadratura de Simpson adaptativa, também chamada de Regra adaptativa de Simpson, é um método de Integração numérica, proposto por G.F. Kuncir em 1962. Este é, provavelmente, o primeiro algoritmo recursivo adaptativo para integração numérica impresso, porém, métodos adaptativos mais modernos, baseados em e , são geralmente preferidos. O método da Quadratura de Simpson Adaptativa usa uma estimativa do erro obtido ao calcular integrais definidas pelo . Se o erro excede a tolerância definida pelo usuário, o algoritmo subdivide os intervalos em dois e aplica a Quadratura de Simpson adaptativa em cara intervalo, de maneira recursiva. Usualmente, a técnica é muito mais eficiente que a ., uma vez que realiza menos avaliações em pontos em que a função é bem aproximada por uma . Um critério sobre quando parar de subdividir um intervalo, sugerido por J.N. Lyness, é onde é um intervalo centrado em , , , e onde são estimativas dadas pelo Método de Simpson nos intervalos correspondentes e é a tolerância desejada para o intervalo. O é uma quadratura interpoladora que apresenta resultados exatos quando o integrante é um polinômio de grau três ou menor. Usando , as estimativas de Simpson mais precisas de para seis valores da função são combinadas com estimativas menos precisas para três valores da função, aplicando a correção . Assim, a estimativa obtida é exata para polinômios de grau cinco ou menos. (pt) |
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