Numerical integration (original) (raw)
في التحليل العددي، يشكل التكامل العددي عائلة واسعة من الخوارزميات لحساب القيمة العددية لتكامل محدد، وللتوسع أكثر يستعمل المصطلح أحيانا أيضا في وصف . في بعض الأحيان ما ينسب التكامل التربيعي (يختصر عادة التربيعي) كمعنى للتكامل العددي، وخاصة عند تطبيقه على التكاملات الأحادية. كما يطلق مصطلح التكعيبي عادة على التكاملات الثنائية فما فوقها. المسألة الأساسية التي يمكن اعتبارها في التكامل العددي هي حساب حل تقريبي لتكامل محدد:
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En càlcul, la integració numèrica consisteix en una família d'algorismes per a calcular el valor numèric d'una integral definida, per extensió, el terme de vegades es fa servir també per a descriure la solució numèrica d'equacions diferencials ordinàries. Aquest article se centra en el càlcul d'integrals definides. El terme quadratura numèrica (sovint abreviat a quadratura) és més o menys sinònim d'integració numèrica, especialment si s'aplica a integrals d'una dimensió tot i que pel cas de dues o més dimensions (integral múltiple) també es fa servir. El problema bàsic al que s'adreça la integració numèrica és del de calcular una solució aproximada a una integral definida. Si f(x) és una funció contínuament derivable sobre un nombre petit de dimensions i els límits d'integració són afitats, llavors hi ha molts mètodes excel·lents per a aproximar la integral amb una precisió arbitrària. (ca) Numerická integrace je často řešenou úlohou v aplikované matematice na výpočet číselné hodnoty určitého integrálu, kterou lze chápat jako výpočet obsahu plochy omezené křivkou definovanou zadanou funkcí. Pro výpočet numerických hodnot určitých integrálů existuje široká rodina algoritmů a jako rozšíření se tento termín také někdy používá pro numerické řešení diferenciálních rovnic. Tento článek se zaměřuje na výpočet určitých integrálů. Termín numerická kvadratura (často zkracovaný na kvadratura) je více nebo méně synonymem pro numerickou integraci, zvláště jednorozměrných integrálů. Někteří autoři používají pro numerický výpočet vícerozměrných integrálů termín kubatura; jiní pod pojem kvadratura zahrnují i vícerozměrnou integraci. Základním problémem při numerické integraci je výpočet přibližné hodnoty určitého integrálu s požadovanou přesností. Pokud f(x) je hladká funkce integrovaná přes malý počet rozměrů a definiční obor integrace je omezený, existuje mnoho metod pro aproximaci integrálů s požadovanou přesností. (cs) في التحليل العددي، يشكل التكامل العددي عائلة واسعة من الخوارزميات لحساب القيمة العددية لتكامل محدد، وللتوسع أكثر يستعمل المصطلح أحيانا أيضا في وصف . في بعض الأحيان ما ينسب التكامل التربيعي (يختصر عادة التربيعي) كمعنى للتكامل العددي، وخاصة عند تطبيقه على التكاملات الأحادية. كما يطلق مصطلح التكعيبي عادة على التكاملات الثنائية فما فوقها. المسألة الأساسية التي يمكن اعتبارها في التكامل العددي هي حساب حل تقريبي لتكامل محدد: (ar) In der numerischen Mathematik bezeichnet man als numerische Integration (traditionell auch als numerische Quadratur bezeichnet) die näherungsweise Berechnung von Integralen. Die numerische Integration wird genutzt, wenn sich eine Stammfunktion nicht durch elementare Funktionen ausdrücken lässt, die numerische Auswertung der Stammfunktion zu komplex ist oderder Integrand nur diskret, etwa als Ergebnis von Messungen, vorliegt. Dazu wird das Integral einer Funktion über dem Intervall dargestellt als Summe aus dem Wert einer Näherungsformel (auch Quadraturformel genannt) und einem Fehlerwert : . Die Idee zur numerischen Berechnung von Integralen entlehnt sich direkt der Definition des Riemannschen Integrals. (de) Zenbakizko analisian, zenbakizko integrazioa edo integrazio numerikoa algoritmo sorta zabal bat da integral definitu baten zenbakizko balioa kalkulatzeko, eta, hedaduraz, terminoa, batzuetan, algoritmo numerikoak deskribatzeko ere erabiltzen da ekuazio diferentzialak ebazteko. Zenbaki-koadratura terminoa (sarritan koadratura moduan laburtua) zenbakizko integrazioaren sinonimo da, batez ere dimentsio bateko integralei aplikatzen bazaie, nahiz eta bi dimentsio edo gehiagoko (integral anizkoitza) kasuan ere erabiltzen den. Zenbakizko integrazioak kontuan hartzen duen oinarrizko problema da zehaztutako integralerako gutxi gorabeherako irtenbide bat kalkulatzea: Problema hori ekuazio diferentzial arrunt baten hasierako balioaren problema gisa ere adieraz daiteke, honela: y funtzioaren y(b) balioa aurkitzea integrala kalkulatzearen baliokidea da. Ekuazio diferentzial arruntetarako garatutako metodoak, hala nola Runge-Kutta metodoa, birformulatutako problemari aplika dakizkioke. Artikulu honetan, integral mugatu gisa formulatutako problemarako berariaz garatutako metodoak eztabaidatzen dira. (eu) En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión, a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza. El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida: Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue: Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runge-Kutta, pueden ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida. (es) In analysis, numerical integration comprises a broad family of algorithms for calculating the numerical value of a definite integral, and by extension, the term is also sometimes used to describe the numerical solution of differential equations. This article focuses on calculation of definite integrals. The term numerical quadrature (often abbreviated to quadrature) is more or less a synonym for numerical integration, especially as applied to one-dimensional integrals. Some authors refer to numerical integration over more than one dimension as cubature; others take quadrature to include higher-dimensional integration. The basic problem in numerical integration is to compute an approximate solution to a definite integral to a given degree of accuracy. If f(x) is a smooth function integrated over a small number of dimensions, and the domain of integration is bounded, there are many methods for approximating the integral to the desired precision. (en) En analyse numérique, il existe une vaste famille d’algorithmes dont le but principal est d’estimer la valeur numérique de l’intégrale définie sur un domaine particulier pour une fonction donnée (par exemple l’intégrale d’une fonction d’une variable sur un intervalle). Ces techniques procèdent en trois phases distinctes : 1. * Décomposition du domaine en morceaux (un intervalle en sous-intervalles contigus) ; 2. * Intégration approchée de la fonction sur chaque morceau ; 3. * Sommation des résultats numériques ainsi obtenus. (fr) 数値積分（すうちせきぶん、英: numerical integration）とは、狭義には与えられる関数の定積分の値を、解析的にではなく数値的に求める求積法のことであり、広義には与えられる導関数から原関数を求める手法、また微分方程式を数値的に解く手法 (常微分方程式の数値解法、偏微分方程式の数値解法) を含む。数値解析の一分野である。 狭義の数値積分（関数の定積分の値を求める方法）は有限要素法などで応用されている。以下では、狭義の数値積分について述べる。 (ja) 수치적분(數値積分, Numerical integration)은 임의의 구간에 를 포함한 적당한 급수함으로 근사하여 수치적으로 구하는 것이 말한다. (ko) Całkowanie numeryczne – metoda numeryczna polegająca na przybliżonym obliczaniu całek oznaczonych. Termin kwadratura numeryczna, często po prostu kwadratura, jest synonimem całkowania numerycznego, w szczególności w odniesieniu do całek jednowymiarowych. Dwu- i wielowymiarowe całkowania nazywane są czasami kubaturami, choć nazwa kwadratura odnosi się również do całkowania w wyższych wymiarach. Proste metody całkowania numerycznego polegają na przybliżeniu całki za pomocą odpowiedniej sumy ważonej wartości całkowanej funkcji w kilku punktach. Aby uzyskać dokładniejsze przybliżenie dzieli się przedział całkowania na niewielkie fragmenty. Ostateczny wynik jest sumą oszacowań całek w poszczególnych podprzedziałach. Najczęściej przedział dzieli się na równe podprzedziały, ale bardziej wyszukane algorytmy potrafią dostosowywać krok do szybkości zmienności funkcji. (pl) Numerieke integratie is in de numerieke wiskunde de berekening van de numerieke waarde als benadering van een integraal. Hiertoe neemt men zijn toevlucht omdat veel integralen zich niet laten uitdrukken in elementaire functies. Een veel gebruikte methode is de integraal te benaderen als gewogen som van een aantal functiewaarden: waarin de zogeheten steunpunten punten in het interval [a,b] zijn en bijbehorende . Door de manier waarop deze punten en de gewichtsfactoren gekozen worden, ontstaan verschillende benaderingsmethoden. De belangrijkste klasse vormen de formules van Newton-Cotes, die met equidistante afstanden werken. Een relatief eenvoudig geval is de trapeziumregel, die de integraal op elk deelinterval benadert door de oppervlakte van de trapeze met als schuine zijde de koorde tussen de punten op de grafiek van de functie in de eindpunten van het deelinterval. De regel van Simpson geeft een betere benadering, waarbij in plaats van de koorde uit de trapeziumregel een parabolische aanpassing aan de grafiek doet. Theoretisch zijn de formules van 4e en 6e orde nog beter, maar deze zijn in praktijk moeilijk toe te passen. Een hogere algebraïsche nauwkeurigheid geeft de kwadratuurformule van Gauss, die gebruikmaakt van een polynoombenadering van de functie. In praktijk wordt de regel van Simpson het meest toegepast en de kwadratuurformule van Gauss minder. Een speciale integraal is de fouriertransformatie; daarvoor bestaat een speciaal algoritme, de zogenaamde Fast Fourier transform (FFT). (nl) In analisi numerica, l'integrazione numerica, nota anche come quadratura numerica, consiste in una serie di metodi che stimano il valore di un integrale definito, senza dover calcolare la primitiva della funzione integranda. In senso più generale, tale termine viene usato per indicare la risoluzione di equazioni differenziali per mezzo di tecniche di analisi numerica. (it) Em matemática, em especial na análise numérica, existe uma grande família de algoritmos, cujo principal objetivo é aproximar o valor de uma dada integral definida de uma função sem o uso de uma expressão analítica para a sua primitiva. Normalmente, estes métodos adotam as seguintes três fases: * Decomposição do domínio em pedaços (um intervalo contido de sub-intervalos); * Integração aproximada da função de cada pedaço; * Soma dos resultados numéricos obtidos. A necessidade de se usar a integração numérica surge de razões como: * nem todas as funções admitem uma primitiva de forma explícita (por exemplo, a função erro); * a primitiva da função é muito complicada para ser avaliada; * quando não se dipões de uma expressão analítica para o integrando, mas se conhece seus valores em um conjunto de pontos do domínio. O método básico envolvido nesta aproximação é chamado de quadratura numérica e consiste na seguinte expressão: onde são coeficientes reais (chamados de pesos da quadratura) e são pontos de (chamados de pontos da quadratura) . (pt) Numerisk integrering (även numerisk integration eller numerisk kvadratur) är beräkningen av integraler med hjälp av numeriska metoder. En integral kan beräknas exakt om tillhörande primitiva funktion är känd, men för de flesta funktioner existerar ingen enkel primitiv funktion. Numerisk integrering innebär att integranden (den funktion som ska integreras) i stället approximeras med en enklare funktion vars primitiva funktion är känd, exempelvis ett polynom. Studiet av effektiva metoder för numerisk integrering är ett huvudområde inom numerisk analys. (sv) 在数值分析中，數值積分是计算定積分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定積分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的積分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。 (zh) Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла. Численное интегрирование применяется, когда: 1. * Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки. 2. * Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, . В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона — Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом. (ru) Задача чисе́льного інтегрува́ння полягає в знаходженні приблизного значення інтегралу де — задана функція. На відрізку вводиться сітка , і як наближене значення інтегралу розглядається число де значення функції у вузлах , — вагові множники (ваги), що залежать лише від вузлів, але не залежать від вибору . Ця формула називається квадратурною формулою. Задача чисельного інтегрування з допомогою квадратур полягає в знаходженні таких вузлів і таких ваг , щоб похибка квадратурної формули була мінімальною для функцій із заданого класу. (uk) |
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(fr) 数値積分（すうちせきぶん、英: numerical integration）とは、狭義には与えられる関数の定積分の値を、解析的にではなく数値的に求める求積法のことであり、広義には与えられる導関数から原関数を求める手法、また微分方程式を数値的に解く手法 (常微分方程式の数値解法、偏微分方程式の数値解法) を含む。数値解析の一分野である。 狭義の数値積分（関数の定積分の値を求める方法）は有限要素法などで応用されている。以下では、狭義の数値積分について述べる。 (ja) 수치적분(數値積分, Numerical integration)은 임의의 구간에 를 포함한 적당한 급수함으로 근사하여 수치적으로 구하는 것이 말한다. (ko) In analisi numerica, l'integrazione numerica, nota anche come quadratura numerica, consiste in una serie di metodi che stimano il valore di un integrale definito, senza dover calcolare la primitiva della funzione integranda. In senso più generale, tale termine viene usato per indicare la risoluzione di equazioni differenziali per mezzo di tecniche di analisi numerica. (it) Numerisk integrering (även numerisk integration eller numerisk kvadratur) är beräkningen av integraler med hjälp av numeriska metoder. En integral kan beräknas exakt om tillhörande primitiva funktion är känd, men för de flesta funktioner existerar ingen enkel primitiv funktion. Numerisk integrering innebär att integranden (den funktion som ska integreras) i stället approximeras med en enklare funktion vars primitiva funktion är känd, exempelvis ett polynom. Studiet av effektiva metoder för numerisk integrering är ett huvudområde inom numerisk analys. (sv) 在数值分析中，數值積分是计算定積分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定積分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的積分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。 (zh) Задача чисе́льного інтегрува́ння полягає в знаходженні приблизного значення інтегралу де — задана функція. На відрізку вводиться сітка , і як наближене значення інтегралу розглядається число де значення функції у вузлах , — вагові множники (ваги), що залежать лише від вузлів, але не залежать від вибору . Ця формула називається квадратурною формулою. Задача чисельного інтегрування з допомогою квадратур полягає в знаходженні таких вузлів і таких ваг , щоб похибка квадратурної формули була мінімальною для функцій із заданого класу. (uk) En càlcul, la integració numèrica consisteix en una família d'algorismes per a calcular el valor numèric d'una integral definida, per extensió, el terme de vegades es fa servir també per a descriure la solució numèrica d'equacions diferencials ordinàries. Aquest article se centra en el càlcul d'integrals definides. El terme quadratura numèrica (sovint abreviat a quadratura) és més o menys sinònim d'integració numèrica, especialment si s'aplica a integrals d'una dimensió tot i que pel cas de dues o més dimensions (integral múltiple) també es fa servir. (ca) Numerická integrace je často řešenou úlohou v aplikované matematice na výpočet číselné hodnoty určitého integrálu, kterou lze chápat jako výpočet obsahu plochy omezené křivkou definovanou zadanou funkcí. Pro výpočet numerických hodnot určitých integrálů existuje široká rodina algoritmů a jako rozšíření se tento termín také někdy používá pro numerické řešení diferenciálních rovnic. Tento článek se zaměřuje na výpočet určitých integrálů. Termín numerická kvadratura (často zkracovaný na kvadratura) je více nebo méně synonymem pro numerickou integraci, zvláště jednorozměrných integrálů. Někteří autoři používají pro numerický výpočet vícerozměrných integrálů termín kubatura; jiní pod pojem kvadratura zahrnují i vícerozměrnou integraci. (cs) In der numerischen Mathematik bezeichnet man als numerische Integration (traditionell auch als numerische Quadratur bezeichnet) die näherungsweise Berechnung von Integralen. Die numerische Integration wird genutzt, wenn sich eine Stammfunktion nicht durch elementare Funktionen ausdrücken lässt, die numerische Auswertung der Stammfunktion zu komplex ist oderder Integrand nur diskret, etwa als Ergebnis von Messungen, vorliegt. Dazu wird das Integral einer Funktion über dem Intervall dargestellt als Summe aus dem Wert einer Näherungsformel (auch Quadraturformel genannt) und einem Fehlerwert : (de) En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión, a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza. (es) Zenbakizko analisian, zenbakizko integrazioa edo integrazio numerikoa algoritmo sorta zabal bat da integral definitu baten zenbakizko balioa kalkulatzeko, eta, hedaduraz, terminoa, batzuetan, algoritmo numerikoak deskribatzeko ere erabiltzen da ekuazio diferentzialak ebazteko. Zenbaki-koadratura terminoa (sarritan koadratura moduan laburtua) zenbakizko integrazioaren sinonimo da, batez ere dimentsio bateko integralei aplikatzen bazaie, nahiz eta bi dimentsio edo gehiagoko (integral anizkoitza) kasuan ere erabiltzen den. (eu) In analysis, numerical integration comprises a broad family of algorithms for calculating the numerical value of a definite integral, and by extension, the term is also sometimes used to describe the numerical solution of differential equations. This article focuses on calculation of definite integrals. The basic problem in numerical integration is to compute an approximate solution to a definite integral (en) Numerieke integratie is in de numerieke wiskunde de berekening van de numerieke waarde als benadering van een integraal. Hiertoe neemt men zijn toevlucht omdat veel integralen zich niet laten uitdrukken in elementaire functies. Een veel gebruikte methode is de integraal te benaderen als gewogen som van een aantal functiewaarden: waarin de zogeheten steunpunten punten in het interval [a,b] zijn en bijbehorende . Door de manier waarop deze punten en de gewichtsfactoren gekozen worden, ontstaan verschillende benaderingsmethoden. (nl) Całkowanie numeryczne – metoda numeryczna polegająca na przybliżonym obliczaniu całek oznaczonych. Termin kwadratura numeryczna, często po prostu kwadratura, jest synonimem całkowania numerycznego, w szczególności w odniesieniu do całek jednowymiarowych. Dwu- i wielowymiarowe całkowania nazywane są czasami kubaturami, choć nazwa kwadratura odnosi się również do całkowania w wyższych wymiarach. (pl) Em matemática, em especial na análise numérica, existe uma grande família de algoritmos, cujo principal objetivo é aproximar o valor de uma dada integral definida de uma função sem o uso de uma expressão analítica para a sua primitiva. Normalmente, estes métodos adotam as seguintes três fases: * Decomposição do domínio em pedaços (um intervalo contido de sub-intervalos); * Integração aproximada da função de cada pedaço; * Soma dos resultados numéricos obtidos. A necessidade de se usar a integração numérica surge de razões como: (pt) Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла. Численное интегрирование применяется, когда: В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона — Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом. (ru) |
| rdfs:label | تكامل عددي (ar) Integració numèrica (ca) Numerická integrace (cs) Numerische Integration (de) Integración numérica (es) Zenbakizko integrazio (eu) Integrazione numerica (it) Calcul numérique d'une intégrale (fr) 수치적분 (ko) 数値積分 (ja) Numerical integration (en) Numerieke integratie (nl) Całkowanie numeryczne (pl) Integração numérica (pt) Численное интегрирование (ru) Numerisk integrering (sv) Чисельне інтегрування (uk) 數值積分 (zh) |
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