Anne's theorem (original) (raw)
アンの定理(Anne's theorem)とは、四角形の面積に関する定理である。フランスの数学者(Pierre-Leon Anne, 1806-1850)にちなんで命名された。
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| dbo:abstract | Anne's theorem, named after the French mathematician (1806–1850), is a statement from Euclidean geometry, which describes an equality of certain areas within a convex quadrilateral. Specifically, it states: Let ABCD be a convex quadrilateral with diagonals AC and BD, that is not a parallelogram. Furthermore let E and F be the midpoints of the diagonals and L be an arbitrary point in the interior of ABCD. L forms four triangles with the edges of ABCD. If the two sums of areas of opposite triangles are equal ( Area(BCL) + Area(DAL) = Area(LAB) + Area(DLC) ), then the point L is located on the Newton line, that is the line which connects E and F. For a parallelogram the Newton line does not exist since both midpoints of the diagonals coincide with point of intersection of the diagonals. Moreover the area identity of the theorem holds in this case for any inner point of the quadrilateral. The converse of Anne's theorem is true as well, that is for any point on the Newton line which is an inner point of the quadrilateral, the area identity holds. (en) Der Satz von Anne, benannt nach (1806–1850), ist eine Aussage aus der Elementargeometrie, die eine bestimmte Zerlegung eines konvexen Vierecks in gleich große Flächen beschreibt. Genauer gilt die folgende Aussage: Sei ABCD ein konvexes Viereck mit den Diagonalen AC und BD, das kein Parallelogramm ist. Des Weiteren seien E und F die Mittelpunkte der Diagonalen und L ein Punkt im Inneren von ABCD. Gilt nun für die vier Dreiecke, die der Punkt L mit den Seiten von ABCD bildet, dass die beiden Summen der Flächen gegenüberliegender Dreiecke gleich sind (F(BCL) + F(DAL) = F(LAB) + F(DLC)), so liegt der Punkt L auf der Newton-Geraden, das heißt der Geraden, die die Mittelpunkte der Diagonalen AC und BD verbindet. Im Falle eines Parallelogrammes existiert keine Newton-Gerade, da die Diagonalemitten zu einem Punkt zusammenfallen. Zudem ist in diesem Fall die Bedingung der Gleichheit der Flächensummen gegenüberliegender Dreiecke von jedem inneren Punkt erfüllt. Es gilt auch die Umkehrung des Satzes von Anne, das heißt, für jeden Punkt auf der Newton-Geraden, der innerhalb des zugehörigen Vierecks liegt, ist die Bedingung der Flächengleichheit erfüllt. (de) El teorema de Anne, llamado así por el matemático francés (1806-1850), es una afirmación de geometría euclidiana, que describe la igualdad de ciertas áreas dentro de un cuadrilátero convexo. Específicamente, declara: Sea ABCD un cuadrilátero convexo con diagonales AC y BD, que no es un paralelogramo. Además, sean E y F los puntos medios de las diagonales y L un punto arbitrario en el interior de ABCD. L forma cuatro triángulos con los bordes de ABCD. Si las dos sumas de áreas de triángulos opuestos son iguales ( Área (BCL) + Área(DAL)= Área(LAB) + Área(DLC) ), entonces el punto L está ubicado en la línea de Newton, que es la línea que conecta E y F. Para un paralelogramo, la línea de Newton no existe, ya que ambos puntos medios de las diagonales coinciden con el punto de intersección de las diagonales. Además, la identidad de área del teorema se cumple en este caso para cualquier punto interno del cuadrilátero. El inverso del teorema de Anne también es cierto, es decir, para cualquier punto de la línea de Newton que sea un punto interno del cuadrilátero, la identidad del área se mantiene. (es) アンの定理(Anne's theorem)とは、四角形の面積に関する定理である。フランスの数学者(Pierre-Leon Anne, 1806-1850)にちなんで命名された。 (ja) |
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