Euclidean geometry (original) (raw)

Die euklidische Geometrie ist zunächst die uns vertraute, anschauliche Geometrie des Zwei- oder Dreidimensionalen. Der Begriff hat jedoch sehr verschiedene Aspekte und lässt Verallgemeinerungen zu. Benannt ist dieses mathematische Teilgebiet der Geometrie nach dem griechischen Mathematiker Euklid von Alexandria.

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dbo:abstract	الهندسة الإقليدية (بالإنجليزية: Euclidean geometry)‏ هي نظام رياضياتي يُنسَب إلى إقليدس الإسكندري، التي وضع أسسها في كتابه عن الهندسة: العناصر. طرق إقليدس تتكون من افتراض مجموعة بسيطة من المُسلّمات البدهية، واستنتاج باقي المُبرهنات منها. مع أن النتائج التي توصل لها إقليدس سبقه إليها رياضياتيون قُدماء، إقليدس كان أول من وضع تلك المبرهنات في نظام منطقي مُحكَم. كتاب العناصر يبدأ بالهندسة المُستوية وهي التي لا تزال تُدرّس في المرحلة الثانوية بصفتها أول نظام مُسلّمات وأول الأمثلة على البرهنة الرسمية. الهندسة الإقليدية تشمل أيضاً الهندسة الفراغية ثلاثية الأبعاد. علاوةً على ذلك، كثيرٌ من النتائج في كتاب العناصر تندرج تحت ما يُسمّى حالياً بالجبر ونظرية الأعداد إلا أنّها مشروحة في لغة هندسية. لأكثر من ألفي سنة، إطلاق وصف «إقليدية» لم يكن ضرورياً بسبب عدم وجود أنواع أخرى من الهندسة. مُسلّمات إقليدس بّدت واضحةً جليّاً (مع الاستثناء الممكن لمُسلّمة التوازي) لدرجة أنّ أي مبرهنة مُستقاة منها كانت تُعدّ صحيحةً إطلاقاً. بيد أنّه حالياً تُعرَف هندسات أُخرى لاأقليدية مُتّسقة. أولاها اكتُشِفَت في بداية القرن التاسع عشر. إحدى مقتضيات نظرية آينشتاين عن النسبية العامة أن الحالة الفيزيائية للفضاء ليست إقليدية، وأنّ الفضاء الإقليدي هو تقريب جيد لها فقط ضمن المسافات القصيرة (بالنسبة لقوة مجال الجاذبية). الهندسة الإقليدية هي إحدى الأمثلة على الهندسة التركيبية في أنّها تسير منطقياً من مسلمات تصف خواصّاً بسيطةً عن الأجسام الهندسية كالنقاط والخطوط، إلى مبرهنات عن تلك الأجسام دون استعمال نُظمٍ إحداثيّةٍ لوصفها. هذا على عكس الهندسة التحليلية التي تُوظّف النظم الإحداثية في ترجمة المبرهنات الهندسية إلى صيغ جبرية. (ar) Eukleidovská (někdy také elementární nebo Eukleidova) geometrie je založena na definicích a axiomech, které publikoval Eukleidés v díle Základy (lat. Elementa). Jedná se o „přirozenou“, intuitivní geometrii, látku základního vzdělání, podobně jako je Newtonovská fyzika. Dlouho byla brána za jedinou možnou geometrii, teprve od 19. století jsou objevovány a popisovány jiné, neeukleidovské geometrie. Eukleidés se v Základech věnuje nejen geometrii, ale také měření a teorii čísel. Geometrie však byla jeho axiomatickým přístupem ovlivněna pravděpodobně nejvíce, proto dnes bývá Eukleidés spojován především s rozvojem geometrie. Dílo se skládá celkem ze 13 knih. Knihy I-VI jsou věnovány rovinné geometrii, knihy VII-IX jsou aritmetické a část jejich výsledku je aplikována na studium iracionalit v knize X. Knihy XI-XIII se zabývají prostorovou geometrií neboli stereometrií. Na začátku každé knihy jsou uvedeny definice (výměry) užívaných pojmů. (cs) La geometria euclidiana és la part de la geometria que estudia els objectes o figures i les seves relacions en un espai on es compleixen els cinc postulats d'Euclides i les cinc . Aquests postulats i nocions comunes varen ser recollides en un tractat de geometria escrit per Euclides d'Alexandria, que constava de tretze llibres i que es deia els Elements. La característica fonamental de la geometria euclidiana és, pel cas del pla, l'existència i unicitat d'una recta paral·lela a un recta donada que passi per un punt determinat exterior a la recta. Per a dimensions superiors, es poden enunciar proposicions anàlogues. (ca) Η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι ένα μαθηματικό σύστημα, το οποίο αποδίδεται στον αλεξανδρινό Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη και περιγράφεται στο βιβλίο του γεωμετρίας με όνομα: τα Στοιχεία. Η μέθοδος του Ευκλείδη βασίζεται στην υπόθεση ενός μικρού συνόλου αξιωμάτων και στην εξαγωγή πολλών προτάσεων (θεωρημάτων) από αυτά. Αν και πολλά από τα αποτελέσματα της δουλείας του Ευκλείδη έχουν αναφερθεί νωρίτερα από άλλους μαθηματικούς, ο Ευκλείδης ήταν ο πρώτος που έδειξε πως αυτές οι προτάσεις μπορούν να εισαχθούν σε ένα περιεκτικό επαγωγικό και λογικό σύστημα. Τα Στοιχεία αρχίζουν με επιπεδομετρία που διδάσκεται στο σχολείο ως το πρώτο αλλά και τα πρώτα παραδείγματα επίσημης απόδειξης και στη συνέχεια ασχολούνται με στερεομετρία τριών διαστάσεων. Το μεγαλύτερο μέρος των Στοιχείων αποτελούν κομμάτια της σημερινής άλγεβρας και θεωρίας αριθμών, γραμμένα σε γλώσσα γεωμετρίας. Για περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια το επίθετο "Ευκλείδεια" γεωμετρία δεν ήταν απαραίτητο γιατί κανένα άλλο είδος γεωμετρίας δεν είχε δημιουργηθεί. Τα αξιώματα του Ευκλείδη διαισθητικά φαίνονταν τόσο προφανή (με πιθανή εξαίρεση το αξίωμα παραλληλίας) που κάθε θεώρημα που αποδεικνυόταν με αυτά κρινόταν σωστό με απόλυτη βεβαιότητα. Σήμερα παρ' όλα αυτά υπάρχουν πολλές ακόμα γεωμετρίες μη Ευκλείδειες που ανακαλύφθηκαν κατά τις αρχές του 19ου αιώνα. Ο μεγάλος φυσικός Άλμπερτ Αϊνστάιν μάλιστα είπε με την ανακάλυψη της θεωρίας της σχετικότητας ότι ο πραγματικός χώρος δεν είναι Ευκλείδειος, αλλά ο Ευκλείδειος χώρος είναι μια καλή προσέγγιση για περιοχές που το βαρυτικό πεδίο είναι αδύναμο. Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι ένα παράδειγμα γεωμετρίας που δουλεύει χωρίς τη χρήση συντεταγμένων. Αντίθετα αν θέλουμε να δουλέψουμε με συντεταγμένες καταφεύγουμε στην αναλυτική γεωμετρία. (el) La Eŭklida geometrio estas la klasika geometrio, kiun une priskribis Eŭklido en sia verko Elementoj (en la 3-a jarcento antaŭ Kristo). Li kolektis la tutan tiaman matematikan scion de la grekoj. Hodiaŭ lia verko estas konata kiel la unua konata aksiomigado en la historio de matematiko. Komence geometrio estis uzata nur en surfaco kaj tri dimensia spaco kunligante ĝin kun fizika mondo, kiun ĝi devis priskribi. Do samtempe ĝi ne ebligis esplori aliajn geometriojn. Aliro de Eŭklido fruktis neordinaran fenomenon de matematika kulturo de antikvaj grekoj, kaj ĉefe geometrio. Ili tre ŝatis pruvi geometriajn teoremojn per cirkelo kaj rektilo. Alidire ili desegnis cirklojn kaj rektojn kun en surfacaj konstruaĵoj kaj deziris pruvi. Tiaj hodiaŭ estas nomataj . En 1833 oni pruvis, ke ĉiuj konstruaĵoj estas fareblaj uzante nur rektojn, se estas donita unu cirklo kun konata mezo. Same oni povas fari la konstruaĵojn nur uzante cirkelon. En ĉi tiu kunteksto, ekzistas distingoj, pro didaktikaj kialoj, inter la ebena geometrio (aŭ ebena inĝenierado), kiu traktas nur planajn korpojn, kiel triangulon kaj cirklon, kaj spacan geometrion (aŭ spacan inĝenieradon), kiu traktas tri-dimensiaj korpoj, kiel piramido, kubo kaj sfero. (eo) Die euklidische Geometrie ist zunächst die uns vertraute, anschauliche Geometrie des Zwei- oder Dreidimensionalen. Der Begriff hat jedoch sehr verschiedene Aspekte und lässt Verallgemeinerungen zu. Benannt ist dieses mathematische Teilgebiet der Geometrie nach dem griechischen Mathematiker Euklid von Alexandria. (de) Euclidean geometry is a mathematical system attributed to ancient Greek mathematician Euclid, which he described in his textbook on geometry: the Elements. Euclid's approach consists in assuming a small set of intuitively appealing axioms (postulates) and deducing many other propositions (theorems) from these. Although many of Euclid's results had been stated earlier, Euclid was the first to organize these propositions into a logical system in which each result is proved from axioms and previously proved theorems. The Elements begins with plane geometry, still taught in secondary school (high school) as the first axiomatic system and the first examples of mathematical proofs. It goes on to the solid geometry of three dimensions. Much of the Elements states results of what are now called algebra and number theory, explained in geometrical language. For more than two thousand years, the adjective "Euclidean" was unnecessary because no other sort of geometry had been conceived. Euclid's axioms seemed so intuitively obvious (with the possible exception of the parallel postulate) that any theorem proved from them was deemed true in an absolute, often metaphysical, sense. Today, however, many other self-consistent non-Euclidean geometries are known, the first ones having been discovered in the early 19th century. An implication of Albert Einstein's theory of general relativity is that physical space itself is not Euclidean, and Euclidean space is a good approximation for it only over short distances (relative to the strength of the gravitational field). Euclidean geometry is an example of synthetic geometry, in that it proceeds logically from axioms describing basic properties of geometric objects such as points and lines, to propositions about those objects. This is in contrast to analytic geometry, introduced almost 2,000 years later by René Descartes, which uses coordinates to express geometric properties as algebraic formulas. (en) Geometria euklidearra, edo parabolikoa espazio euklidearren ezaugarri geometrikoen ikerketa da. Plano afin erreal euklidearraren eta hiru dimentsioko espazio afin euklidear errealaren propietate geometrikoak aztertzen ditu metodo sintetikoaren bitartez, Euklidesen bost postulatuak sartuz. Ohikoa da esatea geometria bat euklidearra dela ez-euklidearra ez baldin bada, hau da, Euklidesen bosgarren postulatua egiaztatzen bada. Deitura honek gero eta erabilpen urriagoa du, izan ere, kanpo-puntu batetik zuzen baten paraleloak marrazteko ematen duen aukera interesa galduz doa. Matematikoek geometria euklidear adierazpena erabili ohi dute propietate antzekoak dituzten dimentsio nagusiagoko geometriak deskribatzeko. Hala ere, geometria laua edo geometria klasikoaren sinonimoak izaten dira normalean. (eu) La geometría euclidiana es un sistema matemático atribuido al antiguo matemático griego Euclides, que describió en su libro de texto sobre geometría: Los Elementos. El enfoque de Euclides consiste en asumir un pequeño conjunto de axiomas (postulados) intuitivamente atractivos y deducir muchas otras proposiciones (teoremas) a partir de ellos. Aunque muchos de los resultados de Euclides se habían expuesto anteriormente, Euclides fue el primero en organizar estas proposiciones en un sistema lógico en el que cada resultado se prueba a partir de axiomas y teoremas previamente probados, aunque, durante más de dos mil años, el adjetivo "euclidiano" fue innecesario porque no se había concebido otro tipo de geometría. La geometría euclidiana, euclídea o parabólica es el estudio de las propiedades geométricas de los espacios euclídeos. Es aquella que estudia las propiedades geométricas del plano afín euclídeo real y del espacio afín euclídeo tridimensional real mediante el método sintético, introduciendo los cinco postulados de Euclides. En ocasiones los matemáticos usan las expresiones geometría euclídea o geometría euclidiana para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia son sinónimos de geometría plana o de geometría clásica. También es común (abusando del lenguaje) decir que una geometría es euclidiana si no es no euclidiana, es decir, si en dicha geometría se verifica el quinto postulado de Euclides, esta denominación está cada vez más en desuso, debido a la pérdida de interés que va teniendo el tema de la posibilidad de trazar paralelas a una recta desde un punto exterior a la misma, los axiomas de Euclides parecían tan intuitivamente obvios (con la posible excepción del postulado de las paralelas) que cualquier teorema demostrado a partir de ellos se consideraba verdadero en un sentido absoluto, a menudo metafísico. Hoy, sin embargo, se conocen muchas otras geometrías no euclidianas auto-consistentes , las primeras se descubrieron a principios del siglo XIX. Una implicación de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein es que el espacio físico en sí mismo no es euclidiano, y el espacio euclidiano es una buena aproximación para él solo en distancias cortas (en relación con la fuerza del campo gravitatorio). Los Elementos comienza con la geometría plana , que aún se enseña en la escuela secundaria (bachillerato) como el primer sistema axiomático y los primeros ejemplos de demostraciones matemáticas y geometría sólida de tres dimensiones . Gran parte de los Elementos establece los resultados de lo que ahora se llama álgebra y teoría de números , explicados en lenguaje geométrico. La geometría euclidiana es un ejemplo de geometría sintética , ya que procede lógicamente de axiomas que describen propiedades básicas de objetos geométricos, como puntos y líneas, a proposiciones sobre esos objetos. Esto contrasta con la geometría analítica, introducida casi 2000 años después por René Descartes, que usa coordenadas para expresar propiedades geométricas como fórmulas algebraicas. (es) Geometri Euklides adalah sebuah geometri klasik, terdiri atas 5 postulat, yang dinisbahkan terhadap matematikawan Yunani Kuno Euklides. Geometri Euklides merupakan sistem aksiomatik, di mana semua teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas. Mendekati buku awalnya Elemen, Euklides memberikan 5 postulat: * Setiap 2 titik dapat digabungkan oleh 1 garis lurus. * Setiap garis lurus dapat diperpanjang sampai tak terhingga dengan garis lurus. * Diberikan setiap segmen garis lurus, sebuah lingkaran dapat digambar memiliki segmen ini sebagai jari-jari dan 1 titik ujung sebagai pusat. * Semua sudut di kanan itu kongruen. * Postulat paralel. Jika 2 garis bertemu di sepertiga jalan di mana jumlah sudut dalam di 1 sisi kurang dari 2 sudut yang di kanan, kedua garis itu harus bertemu satu sama lain di sisi itu jika diperpanjang lebih jauh lagi. Postulat yang ke-5 membuka jalan bagi geometri yang sama seperti pernyataan berikut, dikenal sebagai , yang terjadi di bidang datar: "Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan, hanya satu garis saja yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang diberikan." (in) La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions de droite, de plan, de longueur, d'aire y sont exposées et forment le support des cours de géométrie élémentaire. La conception de la géométrie est intimement liée à la vision de l'espace physique ambiant au sens classique du terme. Les conceptions géométriques connaissent, depuis les travaux d'Euclide, des évolutions suivant trois axes principaux : 1. * pour vérifier les critères de rigueur logique actuels, la définition axiomatique subit de profonds changements, l'objet mathématique restant néanmoins le même ; 2. * pour ne plus se limiter aux dimensions deux et trois et pour permettre l'élaboration d'une théorie plus puissante, un modèle algébrique de la géométrie est envisagé. L'espace euclidien est maintenant défini comme un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire ; 3. * enfin, la structure géométrique euclidienne n'est plus la seule envisageable ; il est établi qu'il existe d'autres géométries cohérentes. Plus de 2 000 ans après sa naissance, l'espace géométrique euclidien est un outil toujours efficace aux vastes domaines d'applications. À l’exception des échelles cosmiques et microscopiques, l'espace des physiciens reste encore principalement du domaine de la géométrie euclidienne. Son aspect mathématique est traité de manière didactique dans l'article produit scalaire. L'article se fonde sur la formalisation d'un vecteur à l'aide d'un bipoint, développé dans vecteur. Une approche plus poussée, fondée sur la formalisation axiomatique de l'espace vectoriel est développée dans espace euclidien. (fr) ユークリッド幾何学（ユークリッドきかがく、英: Euclidean geometry）は、幾何学体系の一つであり、古代エジプトのギリシア系・哲学者であるエウクレイデス（ユークリッド）の著書『原論』に由来する。 (ja) 유클리드 기하학(-幾何學, Euclidean geometry)은 고대 그리스의 수학자 에우클레이데스(유클리드)가 구축한 수학 체계로 《원론》은 기하학에 관한 최초의 체계적인 논의로 알려져 있다. 유클리드의 방법은 직관적으로 받아들일 수 있는 공리를 참으로 간주한다. 이로부터 연역적으로 명제 (정리)를 이끌어낸다. 유클리드가 이끌어낸 많은 성과는 일찍이 오래전의 수학자들에게 알려져 있었던 것이나, 유클리드는 포괄적인 추론과 논리를 통해 그 명제들이 왜 성립할 수 있는가를 보인 최초의 인물이다. 그의 《원론》은 평면 기하학과 함께 시작되며, 아직도 중등 수학교육에서는 최초의 공리계이자 최초의 정형화된 증명의 예로 가르치고 있다. 이는 3차원에서의 으로 계속해서 이어진다. 현재 대수학과 정수론으로 불리는 《원론》의 많은 결론들은 기하학적 언어로 표현되어 있다. 유클리드 기하학이 아닌 다른 종류의 기하학은 한 번도 생각된 적이 없었기 때문에 2천년 동안 "유클리드"라는 수식어는 필요하지 않았다. 유클리드의 공리는 어떤 정리도 유도해 낼 수 있을 만큼 직관적으로 매우 명백한 것으로 보였고, 절대적인 의미에서 참으로 간주되었다. 그러나 오늘날에는 자기 모순이 없는 많은 다른 비유클리드 기하학이 알려져 있고, 19세기 초에 그 중 최초가 개발되었다. 유클리드 공간은 중력장이 거의 작용하지 않는 공간에서만 실제 세계와 잘 들어맞는 근사적인 이론이라는 것이 아인슈타인의 일반 상대성이론에 함축되어 있다. (ko) La geometria euclidea è un sistema matematico attribuito al matematico alessandrino Euclide, che la descrisse nei suoi Elementi. La sua geometria consiste nell'assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti assiomi o postulati e, nella derivazione da detti assiomi, di altre proposizioni (teoremi) che non abbiano alcuna contraddizione con essi. Questa organizzazione della geometria permise l'introduzione della retta, del piano, della lunghezza e dell'area. Sebbene molte delle conclusioni di Euclide fossero già conosciute dai matematici, egli mostrò come queste potessero essere organizzate in una maniera deduttiva e con un sistema logico. Gli Elementi di Euclide incominciano con un'analisi della geometria piana, attualmente insegnata nelle scuole secondarie e utilizzata come primo approccio alle dimostrazioni matematiche, per poi passare alla geometria solida in tre dimensioni. Dopo Euclide sono nati particolari tipi di geometrie che non necessariamente rispettano i cinque postulati; tali geometrie sono definite non euclidee. (it) Geometria euklidesowa – klasyczna odmiana geometrii opisana po raz pierwszy przez Euklidesa w dziele Elementy (z IV w. p.n.e.). Zebrał on całą ówczesną wiedzę matematyczną znaną Grekom, dziś jego dzieło przedstawia się jako pierwszą znaną aksjomatyzację w historii matematyki. Pierwotnie uprawiano ją jedynie na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej wiążąc ją jednocześnie ze światem fizycznym, który miała opisywać, nie dopuszczając tym samym możliwości badania innych odmian geometrii. Dzieło Euklidesa nosi wyraźne ślady platońskiej koncepcji uprawiania matematyki. Ówczesna koncepcja liczby, kryzys wywołany odkryciem niewymierności, dopuszczanie do rozważań teoretycznych jedynie nieskończoności potencjalnej narzuciło pewien kanon metodologiczny, który widać w całym dziele Euklidesa. Np. pod pojęciem prostej rozumiano zawsze jakiś odcinek, który można było dowolnie przedłużać, w konstrukcjach geometrycznych stosowano jedynie i cyrkle (bo jedynie proste i okręgi mogą ślizgać się same po sobie). Konstrukcje te dziś nazywa się konstrukcjami klasycznymi. W 1833 r. udowodniono, że wszystkie takie konstrukcje można wykonać przy pomocy samego liniału, o ile tylko dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem (twierdzenie Ponceleta-Steinera); co więcej można je wykonać za pomocą samego cyrkla (twierdzenie Mohra-Mascheroniego). (pl) De euclidische meetkunde is een wiskundig systeem dat wordt toegeschreven aan de Griekse wiskundige Euclides van Alexandrië. Zijn werk, de Elementen, is de vroegst bekende systematische bespreking van de meetkunde. De Elementen is een van de meest invloedrijke boeken uit de geschiedenis, niet alleen om de wiskundige inhoud, maar vooral vanwege de gehanteerde methode. Deze methode bestaat eruit om uitgaande van een kleine verzameling van intuïtief aansprekende axioma's, vervolgens vele andere proposities, lemma's en stellingen te bewijzen. Hoewel veel van Euclides' resultaten reeds eerder door vroegere Griekse wiskundigen waren geformuleerd, was Euclides de eerste die liet zien hoe deze proposities in elkaar grijpen in een alomvattend deductief en logisch systeem. De euclidische meetkunde is de meetkunde van ruimte die niet gekromd is. Eerste voorbeeld van een ruimte die wel gekromd is, is het oppervlak van een bol. Belangrijke begrippen in de euclidische meetkunde zijn onder andere de punt, lijn, lijnstuk, kant van de lijn, cirkel met straal en middelpunt, rechte hoek en congruentie. Deze begrippen kennen we, het zijn de begrippen waar het onderwijs in de wiskunde mee begint. We hebben ook een intuïtief beeld van de euclidische meetkunde, maar voor een exacte beschrijving ervan zijn de vijf postulaten van Euclides nodig. Als eerste axiomatisch systeem begint de Elementen met de meetkunde op een vlak en gebruikt daarbij bovengenoemde begrippen. Hier vindt men ook de eerste voorbeelden van formele bewijzen. De Elementen gaat vervolgens verder met meetkunde van de drie-dimensionale ruimte, de stereometrie. Vooral in de 19e eeuw is de euclidische meetkunde uitgebreid naar elk eindig aantal dimensies. Vooral de leerboeken van de planimetrie en de stereometrie liggen ten grondslag aan de elementaire mechanica en natuurkunde. Veel van de Elementen bestaat uit resultaten uit wat men tegenwoordig de getaltheorie noemen. Deze resultaten worden in de Elementen echter bewezen met behulp van meetkundige methoden. Meer dan tweeduizend jaar was het bijvoeglijk naamwoord "euclidisch" overbodig, omdat de euclidische meetkunde de enige bekende vorm van meetkunde was. Euclides' axioma's, met uitzondering van de vijfde, leken zo intuïtief duidelijk dat stellingen, die op basis van deze axioma's werden bewezen door velen in absolute zin als waar beschouwd werden. Vandaag de dag zijn er echter vele andere consistente niet-euclidische meetkundes bekend. De eersten daarvan werden in het begin van de 19e eeuw ontdekt. De niet-euclidische meetkundes hebben vier van de vijf axioma's met de euclidische meetkunde gemeen. Alleen het vijfde, het axioma van de evenwijdige lijnen, volgens welk door een punt P buiten een lijn m slechts één lijn evenwijdig met m loopt, gaat in de niet-euclidische meetkundes niet op. De gewone euclidische meetkunde is te beschouwen als overgangsgeval tussen de elliptische en de hyperbolische meetkunde en wordt om die reden soms ook wel parabolische meetkunde genoemd. (nl) Na matemática, geometria euclidiana é a geometria, em duas e três dimensões, baseada nos postulados de Euclides de Alexandria. (pt) I euklidisk geometri gäller Euklides fem axiom, av vilka ett är det så kallade parallellaxiomet. De geometriska teorier som inte bygger på parallellaxiomet kallas icke-euklidiska geometrier. De olika teorierna ger olika sanningsvärden för vissa geometriska påståenden. I euklidisk geometri är det till exempel sant att vinkelsumman i en triangel alltid är 180 grader, vilket inte är fallet i icke-euklidisk geometri. Den Euklidiska geometrin är den konventionella form av geometri som lärs ut i skolorna, eftersom den har otaliga praktiska tillämpningar. Man kan grovt göra följande uppdelning: * polygoner och polyedrar – inkluderar * triangeln * kvadraten * beräkningar med vinklar (trigonometri) * kägelsnitt – inkluderar * cirklar * ellipser * parabler * hyperbler (sv) 欧几里得几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。欧几里得几何有时就指二维平面上的几何，即平面几何，本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何，高维的情形请参看欧几里得空间。数学上，欧几里得几何是二维平面和三维空间中的几何，基于點線面公設。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。其中公設五又稱之為平行公設（Parallel Axiom），敘述比較複雜，這個公設衍生出「三角形內角和等於一百八十度」的定理。在高斯（F. Gauss, 1777年—1855年）的時代，公設五就備受質疑，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利數學家波約（Bolyai）闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇，並非必然的幾何真理，也就是「三角形內角和不一定等於一百八十度」，從而發現非歐幾里得的幾何學，即非歐幾何（non-Euclidean geometry）。 (zh) Евклі́дова геоме́трія — геометрична теорія, заснована на системі аксіом, вперше викладеній у підручнику «Начала» Евкліда (дав.-гр. Στοιχεῖα Stoicheia, III століття до н. е.). Метод Евкліда полягає в прийнятті невеликого набору інтуїтивно зрозумілих аксіом і виведення з них багатьох інших теорем. Хоча багато визначень Евкліда були висловлені іншими математиками, Евклід був першим, хто показав, як ці пропозиції могли б використовуватися у всеосяжну дедуктивну та логічну систему. «Начала» починаються з планіметрії, яка і до сьогодні вивчається у середній школі як аксіоматика і базується на доведеннях. Більша частина «Начал» вказує на доведення того, що зараз називають алгеброю та теорією чисел. Більше двох тисяч років прикметник «евклідова» був непотрібним, оскільки жодна інша форма геометрії ще не існувала. Аксіоми Евкліда здавались настільки очевидними (за винятком аксіоми паралельності), що будь-яка теорема, що випливала з них, вважалася вірною в абсолютному, часто метафізичному сенсі. Сьогодні відомо багато інших несуперечливих неевклідових геометрій, перші з яких з'явилися на початку XIX ст. Зокрема, із загальної теорії відносності Альберта Ейнштейна слідує що фізичний простір неевклідовий, а евклідовий простір для нього існує лише там, де слабке гравітаційне поле. Евклідова геометрія є прикладом аналітичної геометрії, оскільки вона логічно йде від аксіом до тверджень без використання координат(на відміну від аналітичної геометрії, яка їх використовує). (uk) Евкли́дова геоме́трия (или элементарная геометрия) — геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.). (ru)
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dbp:text	Geometry is the science of correct reasoning on incorrect figures. (en) ...when we begin to formulate the theory, we can imagine that the undefined symbols are completely devoid of meaning and that the unproved propositions are simply conditions imposed upon the undefined symbols. Then, the system of ideas that we have initially chosen is simply one interpretation of the undefined symbols; but..this interpretation can be ignored by the reader, who is free to replace it in his mind by another interpretation.. that satisfies the conditions... Logical questions thus become completely independent of empirical or psychological questions... The system of undefined symbols can then be regarded as the abstraction obtained from the specialized theories that result when...the system of undefined symbols is successively replaced by each of the interpretations... (en) If our hypothesis is about anything, and not about some one or more particular things, then our deductions constitute mathematics. Thus, mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true. (en)
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rdfs:comment	Die euklidische Geometrie ist zunächst die uns vertraute, anschauliche Geometrie des Zwei- oder Dreidimensionalen. Der Begriff hat jedoch sehr verschiedene Aspekte und lässt Verallgemeinerungen zu. Benannt ist dieses mathematische Teilgebiet der Geometrie nach dem griechischen Mathematiker Euklid von Alexandria. (de) ユークリッド幾何学（ユークリッドきかがく、英: Euclidean geometry）は、幾何学体系の一つであり、古代エジプトのギリシア系・哲学者であるエウクレイデス（ユークリッド）の著書『原論』に由来する。 (ja) Na matemática, geometria euclidiana é a geometria, em duas e três dimensões, baseada nos postulados de Euclides de Alexandria. (pt) 欧几里得几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。欧几里得几何有时就指二维平面上的几何，即平面几何，本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何，高维的情形请参看欧几里得空间。数学上，欧几里得几何是二维平面和三维空间中的几何，基于點線面公設。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。其中公設五又稱之為平行公設（Parallel Axiom），敘述比較複雜，這個公設衍生出「三角形內角和等於一百八十度」的定理。在高斯（F. Gauss, 1777年—1855年）的時代，公設五就備受質疑，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利數學家波約（Bolyai）闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇，並非必然的幾何真理，也就是「三角形內角和不一定等於一百八十度」，從而發現非歐幾里得的幾何學，即非歐幾何（non-Euclidean geometry）。 (zh) Евкли́дова геоме́трия (или элементарная геометрия) — геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.). (ru) الهندسة الإقليدية (بالإنجليزية: Euclidean geometry)‏ هي نظام رياضياتي يُنسَب إلى إقليدس الإسكندري، التي وضع أسسها في كتابه عن الهندسة: العناصر. طرق إقليدس تتكون من افتراض مجموعة بسيطة من المُسلّمات البدهية، واستنتاج باقي المُبرهنات منها. مع أن النتائج التي توصل لها إقليدس سبقه إليها رياضياتيون قُدماء، إقليدس كان أول من وضع تلك المبرهنات في نظام منطقي مُحكَم. كتاب العناصر يبدأ بالهندسة المُستوية وهي التي لا تزال تُدرّس في المرحلة الثانوية بصفتها أول نظام مُسلّمات وأول الأمثلة على البرهنة الرسمية. الهندسة الإقليدية تشمل أيضاً الهندسة الفراغية ثلاثية الأبعاد. علاوةً على ذلك، كثيرٌ من النتائج في كتاب العناصر تندرج تحت ما يُسمّى حالياً بالجبر ونظرية الأعداد إلا أنّها مشروحة في لغة هندسية. (ar) La geometria euclidiana és la part de la geometria que estudia els objectes o figures i les seves relacions en un espai on es compleixen els cinc postulats d'Euclides i les cinc . Aquests postulats i nocions comunes varen ser recollides en un tractat de geometria escrit per Euclides d'Alexandria, que constava de tretze llibres i que es deia els Elements. (ca) Eukleidovská (někdy také elementární nebo Eukleidova) geometrie je založena na definicích a axiomech, které publikoval Eukleidés v díle Základy (lat. Elementa). Jedná se o „přirozenou“, intuitivní geometrii, látku základního vzdělání, podobně jako je Newtonovská fyzika. Dlouho byla brána za jedinou možnou geometrii, teprve od 19. století jsou objevovány a popisovány jiné, neeukleidovské geometrie. (cs) Η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι ένα μαθηματικό σύστημα, το οποίο αποδίδεται στον αλεξανδρινό Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη και περιγράφεται στο βιβλίο του γεωμετρίας με όνομα: τα Στοιχεία. Η μέθοδος του Ευκλείδη βασίζεται στην υπόθεση ενός μικρού συνόλου αξιωμάτων και στην εξαγωγή πολλών προτάσεων (θεωρημάτων) από αυτά. Αν και πολλά από τα αποτελέσματα της δουλείας του Ευκλείδη έχουν αναφερθεί νωρίτερα από άλλους μαθηματικούς, ο Ευκλείδης ήταν ο πρώτος που έδειξε πως αυτές οι προτάσεις μπορούν να εισαχθούν σε ένα περιεκτικό επαγωγικό και λογικό σύστημα. Τα Στοιχεία αρχίζουν με επιπεδομετρία που διδάσκεται στο σχολείο ως το πρώτο αλλά και τα πρώτα παραδείγματα επίσημης απόδειξης και στη συνέχεια ασχολούνται με στερεομετρία τριών διαστάσεων. Το μεγαλύτερο μέρος των Στοιχείων αποτελούν κομμάτια τη (el) La Eŭklida geometrio estas la klasika geometrio, kiun une priskribis Eŭklido en sia verko Elementoj (en la 3-a jarcento antaŭ Kristo). Li kolektis la tutan tiaman matematikan scion de la grekoj. Hodiaŭ lia verko estas konata kiel la unua konata aksiomigado en la historio de matematiko. Komence geometrio estis uzata nur en surfaco kaj tri dimensia spaco kunligante ĝin kun fizika mondo, kiun ĝi devis priskribi. Do samtempe ĝi ne ebligis esplori aliajn geometriojn. (eo) Euclidean geometry is a mathematical system attributed to ancient Greek mathematician Euclid, which he described in his textbook on geometry: the Elements. Euclid's approach consists in assuming a small set of intuitively appealing axioms (postulates) and deducing many other propositions (theorems) from these. Although many of Euclid's results had been stated earlier, Euclid was the first to organize these propositions into a logical system in which each result is proved from axioms and previously proved theorems. (en) La geometría euclidiana es un sistema matemático atribuido al antiguo matemático griego Euclides, que describió en su libro de texto sobre geometría: Los Elementos. El enfoque de Euclides consiste en asumir un pequeño conjunto de axiomas (postulados) intuitivamente atractivos y deducir muchas otras proposiciones (teoremas) a partir de ellos. Aunque muchos de los resultados de Euclides se habían expuesto anteriormente, Euclides fue el primero en organizar estas proposiciones en un sistema lógico en el que cada resultado se prueba a partir de axiomas y teoremas previamente probados, aunque, durante más de dos mil años, el adjetivo "euclidiano" fue innecesario porque no se había concebido otro tipo de geometría. (es) Geometria euklidearra, edo parabolikoa espazio euklidearren ezaugarri geometrikoen ikerketa da. Plano afin erreal euklidearraren eta hiru dimentsioko espazio afin euklidear errealaren propietate geometrikoak aztertzen ditu metodo sintetikoaren bitartez, Euklidesen bost postulatuak sartuz. Ohikoa da esatea geometria bat euklidearra dela ez-euklidearra ez baldin bada, hau da, Euklidesen bosgarren postulatua egiaztatzen bada. Deitura honek gero eta erabilpen urriagoa du, izan ere, kanpo-puntu batetik zuzen baten paraleloak marrazteko ematen duen aukera interesa galduz doa. (eu) La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions de droite, de plan, de longueur, d'aire y sont exposées et forment le support des cours de géométrie élémentaire. La conception de la géométrie est intimement liée à la vision de l'espace physique ambiant au sens classique du terme. Les conceptions géométriques connaissent, depuis les travaux d'Euclide, des évolutions suivant trois axes principaux : (fr) Geometri Euklides adalah sebuah geometri klasik, terdiri atas 5 postulat, yang dinisbahkan terhadap matematikawan Yunani Kuno Euklides. Geometri Euklides merupakan sistem aksiomatik, di mana semua teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas. Mendekati buku awalnya Elemen, Euklides memberikan 5 postulat: Postulat yang ke-5 membuka jalan bagi geometri yang sama seperti pernyataan berikut, dikenal sebagai , yang terjadi di bidang datar: (in) La geometria euclidea è un sistema matematico attribuito al matematico alessandrino Euclide, che la descrisse nei suoi Elementi. La sua geometria consiste nell'assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti assiomi o postulati e, nella derivazione da detti assiomi, di altre proposizioni (teoremi) che non abbiano alcuna contraddizione con essi. Questa organizzazione della geometria permise l'introduzione della retta, del piano, della lunghezza e dell'area. (it) 유클리드 기하학(-幾何學, Euclidean geometry)은 고대 그리스의 수학자 에우클레이데스(유클리드)가 구축한 수학 체계로 《원론》은 기하학에 관한 최초의 체계적인 논의로 알려져 있다. 유클리드의 방법은 직관적으로 받아들일 수 있는 공리를 참으로 간주한다. 이로부터 연역적으로 명제 (정리)를 이끌어낸다. 유클리드가 이끌어낸 많은 성과는 일찍이 오래전의 수학자들에게 알려져 있었던 것이나, 유클리드는 포괄적인 추론과 논리를 통해 그 명제들이 왜 성립할 수 있는가를 보인 최초의 인물이다. 그의 《원론》은 평면 기하학과 함께 시작되며, 아직도 중등 수학교육에서는 최초의 공리계이자 최초의 정형화된 증명의 예로 가르치고 있다. 이는 3차원에서의 으로 계속해서 이어진다. 현재 대수학과 정수론으로 불리는 《원론》의 많은 결론들은 기하학적 언어로 표현되어 있다. (ko) Geometria euklidesowa – klasyczna odmiana geometrii opisana po raz pierwszy przez Euklidesa w dziele Elementy (z IV w. p.n.e.). Zebrał on całą ówczesną wiedzę matematyczną znaną Grekom, dziś jego dzieło przedstawia się jako pierwszą znaną aksjomatyzację w historii matematyki. Pierwotnie uprawiano ją jedynie na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej wiążąc ją jednocześnie ze światem fizycznym, który miała opisywać, nie dopuszczając tym samym możliwości badania innych odmian geometrii. (pl) De euclidische meetkunde is een wiskundig systeem dat wordt toegeschreven aan de Griekse wiskundige Euclides van Alexandrië. Zijn werk, de Elementen, is de vroegst bekende systematische bespreking van de meetkunde. De Elementen is een van de meest invloedrijke boeken uit de geschiedenis, niet alleen om de wiskundige inhoud, maar vooral vanwege de gehanteerde methode. Deze methode bestaat eruit om uitgaande van een kleine verzameling van intuïtief aansprekende axioma's, vervolgens vele andere proposities, lemma's en stellingen te bewijzen. Hoewel veel van Euclides' resultaten reeds eerder door vroegere Griekse wiskundigen waren geformuleerd, was Euclides de eerste die liet zien hoe deze proposities in elkaar grijpen in een alomvattend deductief en logisch systeem. (nl) I euklidisk geometri gäller Euklides fem axiom, av vilka ett är det så kallade parallellaxiomet. De geometriska teorier som inte bygger på parallellaxiomet kallas icke-euklidiska geometrier. De olika teorierna ger olika sanningsvärden för vissa geometriska påståenden. I euklidisk geometri är det till exempel sant att vinkelsumman i en triangel alltid är 180 grader, vilket inte är fallet i icke-euklidisk geometri. Den Euklidiska geometrin är den konventionella form av geometri som lärs ut i skolorna, eftersom den har otaliga praktiska tillämpningar. Man kan grovt göra följande uppdelning: (sv) Евклі́дова геоме́трія — геометрична теорія, заснована на системі аксіом, вперше викладеній у підручнику «Начала» Евкліда (дав.-гр. Στοιχεῖα Stoicheia, III століття до н. е.). Метод Евкліда полягає в прийнятті невеликого набору інтуїтивно зрозумілих аксіом і виведення з них багатьох інших теорем. Хоча багато визначень Евкліда були висловлені іншими математиками, Евклід був першим, хто показав, як ці пропозиції могли б використовуватися у всеосяжну дедуктивну та логічну систему. «Начала» починаються з планіметрії, яка і до сьогодні вивчається у середній школі як аксіоматика і базується на доведеннях. Більша частина «Начал» вказує на доведення того, що зараз називають алгеброю та теорією чисел. (uk)
rdfs:label	Euclidean geometry (en) هندسة إقليدية (ar) Geometria euclidiana (ca) Eukleidovská geometrie (cs) Euklidische Geometrie (de) Ευκλείδεια γεωμετρία (el) Eŭklida geometrio (eo) Geometría euclidiana (es) Geometria euklidear (eu) Geometri Euklides (in) Geometria euclidea (it) Géométrie euclidienne (fr) 유클리드 기하학 (ko) ユークリッド幾何学 (ja) Euclidische meetkunde (nl) Geometria euklidesowa (pl) Geometria euclidiana (pt) Евклидова геометрия (ru) Euklidisk geometri (sv) Евклідова геометрія (uk) 欧几里得几何 (zh)
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