Associate family (original) (raw)
In differential geometry, the associate family (or Bonnet family) of a minimal surface is a one-parameter family of minimal surfaces which share the same Weierstrass data. That is, if the surface has the representation the family is described by where indicates the real part of a complex number. For θ = π/2 the surface is called the conjugate of the θ = 0 surface. The transformation can be viewed as locally rotating the principal curvature directions. The surface normals of a point with a fixed ζ remains unchanged as θ changes; the point itself moves along an ellipse.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In differential geometry, the associate family (or Bonnet family) of a minimal surface is a one-parameter family of minimal surfaces which share the same Weierstrass data. That is, if the surface has the representation the family is described by where indicates the real part of a complex number. For θ = π/2 the surface is called the conjugate of the θ = 0 surface. The transformation can be viewed as locally rotating the principal curvature directions. The surface normals of a point with a fixed ζ remains unchanged as θ changes; the point itself moves along an ellipse. Some examples of associate surface families are: the catenoid and helicoid family, the Schwarz P, Schwarz D and gyroid family, and the Scherk's first and second surface family. The Enneper surface is conjugate to itself: it is left invariant as θ changes. Conjugate surfaces have the property that any straight line on a surface maps to a planar geodesic on its conjugate surface and vice versa. If a patch of one surface is bounded by a straight line, then the conjugate patch is bounded by a planar symmetry line. This is useful for constructing minimal surfaces by going to the conjugate space: being bound by planes is equivalent to being bound by a polygon. There are counterparts to the associate families of minimal surfaces in higher-dimensional spaces and manifolds. (en) Ассоциированное семейство (или семейство Бонне) минимальной поверхности - является однопараметрическим семейством минимальных поверхностей, которые разделяют те же данные Вейерштрасса. То есть, если поверхность имеет представление семейство описывается формулой При поверхность называется сопряжённой поверхности . Преобразование можно рассматривать как локальное вращение направлений главной кривизны. Нормали поверхности точки с фиксированным остаются неизменными при изменении . Сама точка движется по эллипсу . Некоторые примеры ассоциированных семейств поверхностей: семейства катеноидов и геликоидов, семейства Шварца P, Шварца D и гироидов, а также семейства первой и второй поверхностей Шерка. Поверхность Эннепера сопряжена с собой — она остаётся неизменной при изменении . Сопряжённые поверхности имеют следующее свойство: любая прямая на поверхности отражается в планарную геодезическую линию на сопряжённой поверхности и наоборот. Если кусок поверхности ограничен прямой, то сопряжённый кусок ограничен плоской линией симметрии. Это полезно при построении минимальных поверхностей путём перехода в сопряжённое пространство: ограничение плоскостями эквивалентно ограничению многоугольником. Имеются аналоги ассоциированным семействам минимальных поверхностей в пространствах более высокой размерности и для многообразий. (ru) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Helicatenoid.gif?width=300 |
| dbo:wikiPageID | 37016612 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 2889 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1095599979 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Enneper_surface dbc:Minimal_surfaces dbr:Weierstrass–Enneper_parameterization dbc:Differential_geometry dbr:Complex_number dbr:Helicoid dbr:File:Helicatenoid.gif dbr:Minimal_surface dbr:Differential_geometry dbr:Pierre_Ossian_Bonnet dbr:Catenoid dbr:Gyroid dbr:Principal_curvature dbr:Scherk_surface dbr:Schwarz_minimal_surface |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Reflist dbt:Minimal_surfaces |
| dct:subject | dbc:Minimal_surfaces dbc:Differential_geometry |
| rdfs:comment | In differential geometry, the associate family (or Bonnet family) of a minimal surface is a one-parameter family of minimal surfaces which share the same Weierstrass data. That is, if the surface has the representation the family is described by where indicates the real part of a complex number. For θ = π/2 the surface is called the conjugate of the θ = 0 surface. The transformation can be viewed as locally rotating the principal curvature directions. The surface normals of a point with a fixed ζ remains unchanged as θ changes; the point itself moves along an ellipse. (en) Ассоциированное семейство (или семейство Бонне) минимальной поверхности - является однопараметрическим семейством минимальных поверхностей, которые разделяют те же данные Вейерштрасса. То есть, если поверхность имеет представление семейство описывается формулой При поверхность называется сопряжённой поверхности . Преобразование можно рассматривать как локальное вращение направлений главной кривизны. Нормали поверхности точки с фиксированным остаются неизменными при изменении . Сама точка движется по эллипсу . (ru) |
| rdfs:label | Associate family (en) Ассоциированное семейство (ru) |
| owl:sameAs | freebase:Associate family wikidata:Associate family dbpedia-ru:Associate family https://global.dbpedia.org/id/4TDkX |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Associate_family?oldid=1095599979&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Helicatenoid.gif |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Associate_family |
| is dbo:knownFor of | dbr:Pierre_Ossian_Bonnet |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Enneper_surface dbr:Lidinoid dbr:Richmond_surface dbr:Weierstrass–Enneper_parameterization dbr:Triply_periodic_minimal_surface dbr:Minimal_surface dbr:Pierre_Ossian_Bonnet dbr:Catenoid dbr:Gyroid dbr:Scherk_surface |
| is dbp:knownFor of | dbr:Pierre_Ossian_Bonnet |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Associate_family |
