Borsuk–Ulam theorem (original) (raw)
위상수학에서 보르수크-울람 정리(영어: Borsuk–Ulam theorem)는 초구에서 같은 차원의 유클리드 공간으로 가는 연속함수의 경우, 대척점에서의 함수의 값이 일치하는 경우가 항상 존재한다는 정리이다.
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| dbo:abstract | En matemàtiques, el teorema Borsuk-Ulam afirma que qualsevol funció contínua d'una n-esfera a l'espai euclidià de dimensió n fa correspondre algun parell de al mateix punt. (Dos punts en una esfera s'anomenen antipodals si són exactament en direccions oposades des del centre de l'esfera.) El cas n = 2 sovint s'il·lustra dient que a qualsevol moment que hi ha sempre un parell de punts antipodals a la superfície de la Terra amb temperatures iguals i pressions baromètriques iguals. Això suposa que la temperatura i la pressió baromètrica varien contínuament. Stanisław Ulam va ser el primer a conjecturar el teorema i va ser demostrat per Karol Borsuk el 1933. Hi ha una demostració elemental que el teorema de Borsuk-Ulam implica el Teorema del punt fix de Brouwer. Una afirmació més forta relativa al teorema Borsuk-Ulam és que totes les funcions que preserven les antípodes tenen senar. (ca) Der Satz von Borsuk-Ulam besagt, dass jede stetige Funktion von einer -Sphäre in den -dimensionalen euklidischen Raum ein Paar von antipodalen Punkten auf denselben Punkt abbildet.(Zwei Punkte einer Sphäre heißen antipodal, wenn sie in genau entgegengesetzten Richtungen vom Mittelpunkt liegen.) Der Fall wird oft dadurch erläutert, dass zu jedem Zeitpunkt ein Paar von antipodalen Punkten auf der Erdoberfläche mit gleichen Temperaturen und gleichem Luftdruck existieren. Dies setzt voraus, dass Temperatur und Luftdruck stetige Funktionen sind. Der Satz von Borsuk-Ulam wurde von Stanisław Ulam vermutet und 1933 durch Karol Borsuk bewiesen. Es ist möglich, aus dem Satz von Borsuk-Ulam auf elementare Weise den brouwerschen Fixpunktsatz herzuleiten. Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen des Satzes, so dass man von Sätzen vom Borsuk-Ulam-Typ spricht. (de) In mathematics, the Borsuk–Ulam theorem states that every continuous function from an n-sphere into Euclidean n-space maps some pair of antipodal points to the same point. Here, two points on a sphere are called antipodal if they are in exactly opposite directions from the sphere's center. Formally: if is continuous then there exists an such that: . The case can be illustrated by saying that there always exist a pair of opposite points on the Earth's equator with the same temperature. The same is true for any circle. This assumes the temperature varies continuously in space. The case is often illustrated by saying that at any moment, there is always a pair of antipodal points on the Earth's surface with equal temperatures and equal barometric pressures, assuming that both parameters vary continuously in space. The Borsuk–Ulam theorem has several equivalent statements in terms of odd functions. Recall that is the n-sphere and is the n-ball: * If is a continuous odd function, then there exists an such that: . * If is a continuous function which is odd on (the boundary of ), then there exists an such that: . (en) En mathématiques, le théorème de Borsuk-Ulam est un résultat de topologie algébrique. Il indique que pour toute fonction f continue d'une sphère de dimension n, c'est-à-dire la frontière de la boule euclidienne de ℝn+1, dans un espace euclidien de dimension n, il existe deux points antipodaux, c'est-à-dire diamétralement opposés, ayant même image par f. Il fait partie des « quelques grands théorèmes concernant la topologie des espaces de dimension finie. » Contrairement au théorème de Jordan, il est peu intuitif. Il indique par exemple qu'à tout instant, il existe deux points antipodaux de la Terre ayant exactement la même température et la même pression (on suppose que ces deux grandeurs évoluent de façon continue). Son premier usage concerne la topologie algébrique ; il permet par exemple de démontrer le théorème du point fixe de Brouwer qui lui est analogue à certains égards. Il permet de démontrer des résultats au titre aussi amusant que leur démonstration est difficile, comme le théorème du sandwich au jambon ou encore le (en). À partir des années 1970, il devient un outil pour démontrer des résultats de dénombrement, liés à la théorie des graphes. Ce théorème fut conjecturé par Stanislaw Ulam et prouvé par Karol Borsuk en 1933. (fr) En matemáticas, el teorema Borsuk-Ulam afirma que cualquier función continua de una n-esfera en el espacio euclideo de dimensión n hace corresponder algún par de puntos antipodales al mismo punto. (Dos puntos en una esfera llaman antipodales si están exactamente en direcciones opuestas desde el centro de la esfera.) Formalmente: Si es continua entonces existe un tal que: . El caso n = 1 puede ser ilustrado diciendo que siempre hay un par de puntos opuestos en el ecuador de la tierra con la misma temperatura. Lo mismo es cierto para cualquier círculo. Esto suponiendo que la temperatura varía continuamente. El caso n = 2 se ilustra a menudo diciendo que en cualquier momento, siempre hay un par de puntos antipodales en la superficie de la Tierra con iguales temperaturas e iguales presiones barométricas. Stanisław Ulam fue el primero en conjeturar el teorema y posteriormente fue demostrado por Karol Borsuk en 1933. Existe una demostración elemental de que el teorema de Borsuk-Ulam implica el Teorema del punto fijo de Brouwer. (es) 위상수학에서 보르수크-울람 정리(영어: Borsuk–Ulam theorem)는 초구에서 같은 차원의 유클리드 공간으로 가는 연속함수의 경우, 대척점에서의 함수의 값이 일치하는 경우가 항상 존재한다는 정리이다. (ko) De stelling van Borsuk-Ulam is een stelling in de topologie. Deze stelling zegt dat elke continue functie van een -dimensionale sfeer naar de -dimensionale euclidische ruimte minstens een paar antipodale punten op hetzelfde punt afbeeldt. Het geval wordt vaak geïllustreerd met de bewering dat er op het aardoppervlak te allen tijde twee antipodale punten zijn waar dezelfde temperatuur en luchtdruk heersen. Deze bewering veronderstelt dat zowel de luchtdruk als de temperatuur continu variëren. Een andere illustratie van het tweedimensionale geval is het volgende feit: als je een tennisbal platslaat zonder hem te scheuren, dan komen er altijd ten minste twee punten die tegenover elkaar op de bal lagen (antipodale punten) precies bovenop elkaar terecht, onafhankelijk van de manier waarop de bal precies platgeslagen is (je hoeft de bal bijvoorbeeld niet precies tot een cirkelschijf plat te slaan). De stelling van Borsuk-Ulam werd voor het eerst geopperd door Stanisław Marcin Ulam en in 1933 bewezen door Karol Borsuk. (nl) Il teorema di Borsuk-Ulam è un teorema di topologia. Asserisce che ogni funzione continua da una sfera in uno spazio euclideo della stessa dimensione manda almeno una coppia di punti antipodali sullo stesso punto. Il teorema è valido in tutte le dimensioni. In particolare, il caso è spesso descritto nel modo seguente: in qualsiasi momento, sulla superficie della Terra, esistono sempre due punti antipodali aventi la stessa temperatura e la stessa pressione atmosferica (quantità che si suppongono variare con continuità sulla superficie terrestre). Il caso può essere illustrato in modo analogo dicendo che sull'equatore terrestre esiste sempre una coppia di punti antipodali che hanno la stessa temperatura (anche in questo caso, si assume che la temperatura vari in modo continuo da punto a punto). Il teorema di Borsuk–Ulam fu congetturato per primo da Stanislaw Ulam e poi dimostrato da Karol Borsuk nel 1933. (it) Twierdzenie Borsuka-Ulama o antypodach – twierdzenie topologiczne, które w swojej popularnonaukowej wersji mówi, że na powierzchni kuli ziemskiej istnieje para punktów antypodycznych, w których temperatura i ciśnienie są takie same. Według Matouška ogólne sformułowanie twierdzenia pojawia się po raz pierwszy w pracy Łazara Lusternika i Lwa Sznirelmana z 1930 roku. Samo twierdzenie nosi jednak nazwisko Karola Borsuka, który jako pierwszy podał jego dowód w pracy opublikowanej w Fundamenta Mathematicae z 1933 roku, gdzie przypisuje on autorstwo tezy Stanisławowi Ulamowi. (pl) O Teorema de Borsuk–Ulam, conjecturado por Stanislaw Ulam e provado por Karol Borsuk, asserciona que toda função contínua da esfera n-dimensional no espaço euclideano n-dimensional mapeia algum par de pontos antípodas no mesmo ponto, ou seja, colapsa algum par de antípodas em um único ponto do espaço euclideano. De acordo com (Matoušek 2003, p. 25), a primeira menção histórica deste enunciado aparece em (Lyusternik 1930). A primeira prova foi dada por Karol Borsuk, em 1933, onde a formulação do problema foi atribuída a Ulam. Desde então muitas provas alternativas foram descobertas por vários autores. Sua primeira aplicação concerne à Topologia Algébrica. Este teorema permite, por exemplo, demonstrar o Teorema do ponto fixo de Brouwer que lhe é análogo em certos contextos. Permite também demonstrar resultados muito difíceis , como o . A partir dos anos 1970, foi muito usado para demonstrar resultados ligados à Teoria dos Grafos. Uma versão mais forte do enunciado relacionado ao Teorema de Borsuk–Ulam é que toda aplicação que preserva pontos antípodas de em deve ter grau ímpar. (pt) 博苏克-乌拉姆定理表明，任何一个从n维球面到欧几里得n维空间的连续函数，都一定把某一对对蹠点映射到同一个点。 n = 2的情形，就是说在地球的表面上，一定存在一对对蹠点，它们的温度和气压相同。这里假设了温度和气压的变化是连续的。 这个定理首先由乌拉姆猜想。1933年，Karol Borsuk证明了该定理。从博苏克-乌拉姆定理可以推出布劳威尔不动点定理。 一个关于博苏克-乌拉姆定理的更强的陈述，是每一个保持对蹠点的映射 都具有奇次数。 (zh) Теорема Бо́рсука — У́лама — классическая теорема алгебраической топологии, утверждающая, что всякая непрерывная функция, отображающая -мерную сферу в -мерное евклидово пространство для некоторой пары имеет общее значение.Неформально утверждение известно как «теорема о температуре и давлении»: в любой момент времени на поверхности Земли найдутся антиподальные точки с равной температурой и равным давлением; одномерный случай обычно иллюстрируют двумя диаметрально противоположными точками экватора с равной температурой. Впервые утверждение встречается у Люстерника и Шнирельмана в работе 1930 года; первое доказательство опубликовано в 1933 году Борсуком, который сослался на Улама как автора формулировки. (ru) Теорема Бо́рсука — У́ляма стверджує, що кожна неперервна функція із n-сфери в евклідів n-простір відображає деяку пару діаметрально протилежних точок в ту саму точку. Дві точки на сфері називаються діаметрально протилежними, якщо вони знаходяться в прямо протилежних напрямках від центру сфери. Теорема була вперше сформульована Станіславом Улямом, а в 1933 році вона була доведена . (uk) |
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(pl) 博苏克-乌拉姆定理表明，任何一个从n维球面到欧几里得n维空间的连续函数，都一定把某一对对蹠点映射到同一个点。 n = 2的情形，就是说在地球的表面上，一定存在一对对蹠点，它们的温度和气压相同。这里假设了温度和气压的变化是连续的。 这个定理首先由乌拉姆猜想。1933年，Karol Borsuk证明了该定理。从博苏克-乌拉姆定理可以推出布劳威尔不动点定理。 一个关于博苏克-乌拉姆定理的更强的陈述，是每一个保持对蹠点的映射 都具有奇次数。 (zh) Теорема Бо́рсука — У́ляма стверджує, що кожна неперервна функція із n-сфери в евклідів n-простір відображає деяку пару діаметрально протилежних точок в ту саму точку. Дві точки на сфері називаються діаметрально протилежними, якщо вони знаходяться в прямо протилежних напрямках від центру сфери. Теорема була вперше сформульована Станіславом Улямом, а в 1933 році вона була доведена . (uk) En matemàtiques, el teorema Borsuk-Ulam afirma que qualsevol funció contínua d'una n-esfera a l'espai euclidià de dimensió n fa correspondre algun parell de al mateix punt. (Dos punts en una esfera s'anomenen antipodals si són exactament en direccions oposades des del centre de l'esfera.) El cas n = 2 sovint s'il·lustra dient que a qualsevol moment que hi ha sempre un parell de punts antipodals a la superfície de la Terra amb temperatures iguals i pressions baromètriques iguals. Això suposa que la temperatura i la pressió baromètrica varien contínuament. tenen senar. (ca) Der Satz von Borsuk-Ulam besagt, dass jede stetige Funktion von einer -Sphäre in den -dimensionalen euklidischen Raum ein Paar von antipodalen Punkten auf denselben Punkt abbildet.(Zwei Punkte einer Sphäre heißen antipodal, wenn sie in genau entgegengesetzten Richtungen vom Mittelpunkt liegen.) Der Fall wird oft dadurch erläutert, dass zu jedem Zeitpunkt ein Paar von antipodalen Punkten auf der Erdoberfläche mit gleichen Temperaturen und gleichem Luftdruck existieren. Dies setzt voraus, dass Temperatur und Luftdruck stetige Funktionen sind. (de) In mathematics, the Borsuk–Ulam theorem states that every continuous function from an n-sphere into Euclidean n-space maps some pair of antipodal points to the same point. Here, two points on a sphere are called antipodal if they are in exactly opposite directions from the sphere's center. Formally: if is continuous then there exists an such that: . The case can be illustrated by saying that there always exist a pair of opposite points on the Earth's equator with the same temperature. The same is true for any circle. This assumes the temperature varies continuously in space. (en) En matemáticas, el teorema Borsuk-Ulam afirma que cualquier función continua de una n-esfera en el espacio euclideo de dimensión n hace corresponder algún par de puntos antipodales al mismo punto. (Dos puntos en una esfera llaman antipodales si están exactamente en direcciones opuestas desde el centro de la esfera.) Formalmente: Si es continua entonces existe un tal que: . El caso n = 2 se ilustra a menudo diciendo que en cualquier momento, siempre hay un par de puntos antipodales en la superficie de la Tierra con iguales temperaturas e iguales presiones barométricas. (es) En mathématiques, le théorème de Borsuk-Ulam est un résultat de topologie algébrique. Il indique que pour toute fonction f continue d'une sphère de dimension n, c'est-à-dire la frontière de la boule euclidienne de ℝn+1, dans un espace euclidien de dimension n, il existe deux points antipodaux, c'est-à-dire diamétralement opposés, ayant même image par f. Ce théorème fut conjecturé par Stanislaw Ulam et prouvé par Karol Borsuk en 1933. (fr) Il teorema di Borsuk-Ulam è un teorema di topologia. Asserisce che ogni funzione continua da una sfera in uno spazio euclideo della stessa dimensione manda almeno una coppia di punti antipodali sullo stesso punto. Il teorema è valido in tutte le dimensioni. In particolare, il caso è spesso descritto nel modo seguente: in qualsiasi momento, sulla superficie della Terra, esistono sempre due punti antipodali aventi la stessa temperatura e la stessa pressione atmosferica (quantità che si suppongono variare con continuità sulla superficie terrestre). (it) De stelling van Borsuk-Ulam is een stelling in de topologie. Deze stelling zegt dat elke continue functie van een -dimensionale sfeer naar de -dimensionale euclidische ruimte minstens een paar antipodale punten op hetzelfde punt afbeeldt. Het geval wordt vaak geïllustreerd met de bewering dat er op het aardoppervlak te allen tijde twee antipodale punten zijn waar dezelfde temperatuur en luchtdruk heersen. Deze bewering veronderstelt dat zowel de luchtdruk als de temperatuur continu variëren. (nl) O Teorema de Borsuk–Ulam, conjecturado por Stanislaw Ulam e provado por Karol Borsuk, asserciona que toda função contínua da esfera n-dimensional no espaço euclideano n-dimensional mapeia algum par de pontos antípodas no mesmo ponto, ou seja, colapsa algum par de antípodas em um único ponto do espaço euclideano. Uma versão mais forte do enunciado relacionado ao Teorema de Borsuk–Ulam é que toda aplicação que preserva pontos antípodas de em deve ter grau ímpar. (pt) Теорема Бо́рсука — У́лама — классическая теорема алгебраической топологии, утверждающая, что всякая непрерывная функция, отображающая -мерную сферу в -мерное евклидово пространство для некоторой пары имеет общее значение.Неформально утверждение известно как «теорема о температуре и давлении»: в любой момент времени на поверхности Земли найдутся антиподальные точки с равной температурой и равным давлением; одномерный случай обычно иллюстрируют двумя диаметрально противоположными точками экватора с равной температурой. 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