Brouwer fixed-point theorem (original) (raw)
Browerova věta o pevném bodu je v matematice tvrzení, že pro každé spojité zobrazení f z uzavřené koule do sebe existuje bod x takový, že . Takový bod se nazývá pevný bod f. Obecněji, libovolné spojité zobrazení z konvexní kompaktní množiny Euklidova prostoru do sebe má pevný bod.
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|---|---|
| dbo:abstract | El teorema del punt fix de Brouwer , el nom es deu al matemàtic holandès Luitzen Egbertus Jan Brouwer, és un dels principals teoremes de punt fix en les matemàtiques. El seu enunciat és el següent: Hi ha diverses demostracions per aquest teorema, per exemple ocupant . En general es prova per la bola unitària, i després per Homeomorfisme és fàcil concloure el cas general. Una observació important és que el teorema no és cert en dimensió infinita. El teorema té diverses aplicacions interessants, per exemple per l'existència de solucions en algunes equacions diferencials ordinàries, com també implica que un got amb algun líquid, sense importar que tant s'hagi batut, al final sempre hi haurà algun punt del líquid que quedi en el mateix lloc que on va partir. Amb el teorema també es conclou que no existeix de la bola unitària en la seva frontera, és a dir, no existeix contínua i tal que la restricció a la frontera sigui la identitat. (ca) Browerova věta o pevném bodu je v matematice tvrzení, že pro každé spojité zobrazení f z uzavřené koule do sebe existuje bod x takový, že . Takový bod se nazývá pevný bod f. Obecněji, libovolné spojité zobrazení z konvexní kompaktní množiny Euklidova prostoru do sebe má pevný bod. (cs) Der Fixpunktsatz von Brouwer ist eine Aussage aus der Mathematik. Er ist nach dem niederländischen Mathematiker Luitzen Egbertus Jan Brouwer benannt und besagt, dass die Einheitskugel die Fixpunkteigenschaft hat. Mit Hilfe dieser Aussage kann man Existenzaussagen über Lösungen reeller, nichtlinearer Gleichungssysteme treffen. (de) Brouwer's fixed-point theorem is a fixed-point theorem in topology, named after L. E. J. (Bertus) Brouwer. It states that for any continuous function mapping a compact convex set to itself there is a point such that . The simplest forms of Brouwer's theorem are for continuous functions from a closed interval in the real numbers to itself or from a closed disk to itself. A more general form than the latter is for continuous functions from a convex compact subset of Euclidean space to itself. Among hundreds of fixed-point theorems, Brouwer's is particularly well known, due in part to its use across numerous fields of mathematics.In its original field, this result is one of the key theorems characterizing the topology of Euclidean spaces, along with the Jordan curve theorem, the hairy ball theorem, the invariance of dimension and the Borsuk–Ulam theorem.This gives it a place among the fundamental theorems of topology. The theorem is also used for proving deep results about differential equations and is covered in most introductory courses on differential geometry.It appears in unlikely fields such as game theory. In economics, Brouwer's fixed-point theorem and its extension, the Kakutani fixed-point theorem, play a central role in the proof of existence of general equilibrium in market economies as developed in the 1950s by economics Nobel prize winners Kenneth Arrow and Gérard Debreu. The theorem was first studied in view of work on differential equations by the French mathematicians around Henri Poincaré and Charles Émile Picard. Proving results such as the Poincaré–Bendixson theorem requires the use of topological methods. This work at the end of the 19th century opened into several successive versions of the theorem. The case of differentiable mappings of the n-dimensional closed ball was first proved in 1910 by Jacques Hadamard and the general case for continuous mappings by Brouwer in 1911. (en) En matemáticas, y más precisamente en topología algebraica, el teorema del punto fijo de Brouwer (nombrado así en honor al matemático holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer) forma parte de la familia de los así llamados «teoremas de punto fijo», que enuncian que, si una función f verifica ciertas propiedades, entonces existe un punto x0 tal que f(x0) = x0, es decir, un punto fijo de la función. La forma más simple del teorema de Brouwer asume por hipótesis que la función f está definida sobre un intervalo cerrado y acotado, de extremos diferentes, J en sí mismo. De manera más general, la función está definida sobre un conjunto convexo y compacto K de un espacio euclídeo y a valores en K. El teorema del punto fijo de Brouwer tiene ramificaciones en varias áreas de las matemáticas, a veces inesperadas (como por ejemplo en la teoría de juegos, para demostrar la existencia de un «equilibrio de Nash» por un juego de n personas con estrategias mixtas). El resultado es uno de los teoremas centrales que caracterizan la «topología de un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita», como el teorema de la curva de Jordan, el teorema de la bola peluda o el teorema de Borsuk-Ulam. Históricamente, el estudio del teorema proviene de los trabajos de los matemáticos franceses Poincaré y Picard sobre ecuaciones diferenciales. Demostrar resultados tales como el teorema de Poincaré-Bendixson requiere del uso de herramientas de la topología. Hacia fines del siglo XIX, estos trabajos culminan con varias versiones sucesivas del teorema; en 1912, Luitzen Egbertus Jan Brouwer da una demostración general, estableciendo nuevamente un resultado ya probado por Hadamard en 1910. (es) En mathématiques, et plus précisément en topologie algébrique, le théorème du point fixe de Brouwer fait partie de la grande famille des théorèmes de point fixe, qui énoncent que si une fonction continue f vérifie certaines propriétés, alors il existe un point x0 tel que f(x0) = x0. La forme la plus simple du théorème de Brouwer prend comme hypothèse que la fonction f est définie sur un intervalle fermé borné non vide I et à valeurs dans I. Sous une forme plus générale, la fonction est définie sur un convexe compact K d'un espace euclidien et à valeurs dans K. Si, parmi les centaines de théorèmes de point fixe, celui de Brouwer est particulièrement célèbre, c'est en partie parce qu'il est utilisé dans de nombreuses branches mathématiques. Dans sa branche d'origine, ce résultat est l'un des théorèmes clés caractérisant la topologie d'un espace euclidien, comme le théorème de Jordan, celui de la boule chevelue ou de Borsuk-Ulam. À ce titre, il est un des théorèmes fondamentaux de la topologie. Ce théorème intervient aussi pour établir des résultats fins sur les équations différentielles ; il est présent dans les cours élémentaires de géométrie différentielle. Il apparaît dans des branches plus inattendues, comme la théorie des jeux, où John Nash l'utilise pour montrer l'existence d'un équilibre pour un jeu de n personnes avec stratégies mixtes.Historiquement, le théorème est étudié à la suite de travaux sur les équations différentielles de mathématiciens français comme Poincaré et Picard. Démontrer des résultats comme le théorème de Poincaré-Bendixson demande l'usage d'outils de topologie. Ces études de la fin du XIXe siècle débouchent sur plusieurs versions successives du théorème ; en 1912, Luitzen Egbertus Jan Brouwer en propose une démonstration générale, établissant à nouveau un résultat déjà prouvé par Hadamard en 1910. (fr) In matematica, il teorema di Brouwer è un risultato nell'ambito della topologia che mette in relazione il concetto di funzione continua con la proprietà di avere un punto fisso. Questo risultato deve il nome a Luitzen Brouwer che ne dimostrò la formulazione generale nel 1910 insieme a Jacques Hadamard. Il teorema può essere formulato in diversi modi a seconda del contesto in cui è utilizzato. Nella sua versione più semplice si può enunciare nel seguente modo: sia un disco chiuso nel piano euclideo, allora ogni funzione continua ammette almeno un punto fisso. L'estensione al caso di dimensione maggiore, si ottiene considerando una funzione continua da una palla chiusa nello spazio euclideo in sé stessa. Si può anche ottenere una versione più generale, che segue dalla precedente per il fatto che ogni sottoinsieme convesso e compatto di uno spazio euclideo è omeomorfo a una palla chiusa della stessa dimensione: ogni funzione continua da un sottoinsieme convesso e compatto in sé ha almeno un punto fisso. Un'ulteriore generalizzazione è il teorema del punto fisso di Schauder: un operatore completamente continuo, definito da un sottoinsieme convesso, chiuso e limitato di uno spazio di Banach in sé stesso, ha almeno un punto fisso. Questo risultato è poi esteso da altri teoremi, tra cui il teorema di Kakutani e il teorema di Tikhonov. (it) ブラウワーの不動点定理（ブラウワーのふどうてんていり、英: Brouwer's fixed-point theorem）は、位相幾何学における不動点定理で、ライツェン・ブラウワーの名にちなむ。この定理では、コンパクト凸集合からそれ自身への任意の連続函数 f に対して、f(x0) = x0 を満たす点 x0、すなわち不動点が存在することが述べられている。ブラウワーの定理の最も簡単な形式のものは、実数直線内の閉区間 I あるいは閉円板 D からそれ自身への連続函数 f に対するものである。後者に対するより一般のものは、ユークリッド空間の凸コンパクト部分集合 K からそれ自身への連続函数に対するものである。 不動点定理は数多く存在するが、中でもブラウワーの不動点定理は数学の多くの分野をまたいで利用されるため、非常に有名である。元々の分野において、この結果はジョルダン曲線定理、およびとともにユークリッド空間のトポロジーを特徴付ける重要な定理となっている。このため、この定理は位相幾何学における基礎的な定理に位置付けられている。この定理はまた、微分方程式の重要な結果を証明するために用いられ、微分幾何学の入門的なほとんどの課程において扱われている。この定理はまた、ゲーム理論のような分野でも用いられている。経済学において、ブラウワーの不動点定理とその拡張である角谷の不動点定理は、1950年代にノーベル経済学賞受賞者のケネス・アローとジェラール・ドブルーによって示されたように、マーケット経済の一般均衡の存在の証明で中心的な役割を果たしている。さらに数値解析の分野においては、非線型方程式の数値解に対する精度保証付き数値計算の基礎として利用される。 この定理ははじめ、アンリ・ポアンカレとエミール・ピカールを中心とするフランスの数学者によって微分方程式の観点から研究されていた。ポアンカレ＝ベンディクソンの定理のような結果を証明する上で、位相幾何学的な手法を利用することが求められていた。19世紀末においてこの研究は、いくつかの定理を証明するに至った。一般的な場合は1910年にジャック・アダマールとライツェン・ブラウワーによって証明された。 (ja) 위상수학에서 브라우어르 고정점 정리(-不動點定理, Brouwer fixed-point theorem)는 라위트전 브라우어르의 이름이 붙은 고정점 정리이다. 이 정리에 의하면, 콤팩트 볼록 집합에서 자기 자신으로 가는 연속함수 f는 고정점, 즉 f(x0)=x0인 x0를 갖는다. 가장 간단한 형식은 폐구간 I, 또는 폐원판 D에서 자기 자신으로 가는 연속함수 f에 대한 것이다. 이보다 조금 더 일반화 된 것이 유클리드 공간의 콤팩트 볼록 부분집합 K에서 자신으로 가는 연속함수 f에 대한 정리이다. 수백개가 넘는 고정점 정리들 중, 브라우어르 고정점 정리는 특별히 잘 알려져 있다. 수학의 많은 영역에서 두루 사용되고 있는 것이 한 이유다. 원래의 영역인 대수적 위상수학에서 조르당 곡선 정리, , 보르수크-울람 정리와 함께 유클리드 공간의 위상을 기술하는 핵심 정리이며, 이로써 위상수학의 기본 정리 중 하나로 간주된다. 이 정리는 미분방정식에 관한 더 심도있는 결론을 증명하는데에도 쓰이며 대부분의 미분기하학 입문 수업에서 다루어진다. 게임 이론 같은 곳에서도 나타난다. 경제학에서, 브라우어르 고정점 정리와 그의 확장인 가쿠타니 고정점 정리는 시장경제의 일반균형의 존재 증명에 결정적인 역할을 했다. 이 정리는 푸앵카레와 피카르가 미분방정식에 관한 작업을 위해 처음 연구하였다. 일반화된 결론은 1910년 자크 아다마르와 라위트전 브라우어르에 의해 처음 증명되었다. (ko) De dekpuntstelling van Brouwer gaat over continue afbeeldingen in een n-dimensionale topologische ruimte. Als door dergelijke afbeeldingen bepaalde gebieden in zichzelf afgebeeld worden, wordt ten minste één punt, het dekpunt, op zichzelf afgebeeld. (nl) Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym: Każde ciągłe odwzorowanie sympleksu w siebie ma punkt stały. Przez sympleks rozumie się tu sympleks domknięty, dowolnego, nieujemnego wymiaru (a więc niepusty). n-wymiarowy sympleks standardowy zdefiniowany jest jako najmniejszy zbiór wypukły w zawierający punktów leżących na dodatnich półosiach współrzędnych, w odległości 1 od początku układu współrzędnych (inaczej: otoczkę wypukłą punktów o współrzędnej 1 ze wszystkich osi). Inne sympleksy są obrazami standardowych przy odwzorowaniach afinicznych. Zresztą twierdzenie zachodzi dla każdej z przestrzeni topologicznych, homeomorficznej z jednym z sympleksów standardowych. Takie przestrzenie nazywamy sympleksami topologicznymi. Twierdzenie Brouwera pochodzi z 1910 roku i pojawiło się jako wynik rozważań Brouwera o piątym problemie Hilberta. Na początku sformułował je on tylko dla przestrzeni ale szybko rozszerzył również w wyższe wymiary. Obecnie wiadomo również, że równoważne twierdzenia zostały udowodnione wcześniej przez łotewskiego matematyka w 1904 roku oraz francuskiego matematyka Henri Poincarégo w 1886 roku. (pl) Теорема Брауэра о неподвижной точке — важная теорема о неподвижной точке, применимая к непрерывным отображениям в конечномерных пространствах, являющаяся основной для некоторых более общих теорем. (ru) Em matemática, sobretudo na análise funcional, o teorema do ponto fixo de Brouwer é um resultado sobre a existência de pontos fixos. Recebe o nome do matemático holandês Luitzen Egbertus Jan Brouwer. O teorema de Brouwer é muito útil para compreensão da topologia dos espaços euclidianos. É também o ponto de partida para a demonstração de outros teoremas do o teorema do ponto fixo de Schauder e o . (pt) Inom matematik är Brouwers fixpunktssats en sats gällande fixpunkter uppkallad efter matematikern L. E. J. Brouwer. (sv) Теорема Брауера про нерухому точку — теорема про наявність хоча б одної нерухомої точки функції F за деяких умов на F. Є основною для деяких більш загальних теорем. Зокрема, будь-яке неперервне відображення замкнутої кулі в себе в скінченновимірному евклідовому просторі має нерухому точку. Брауер довів теорему для випадку в 1909 році. Нехай для точки маємо Сполучимо та променем. Точку перетину променя із граничною сферою позначмо Таким чином, маємо деформаційну ретракцію відповідна гомотопія задається формулою (uk) 在数学中，布勞威爾不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布勞威爾不动点定理得名于荷兰数学家魯伊茲·布勞威爾（荷蘭語：L. E. J. Brouwer）。 布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得。布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘射到它自身的函数。而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。 关于不动点的定理很多，但布劳威尔不动点定理是最著名的不动点定理之一，因为它在不少领域中都有应用。在最初的领域中，这个结果与若尔当曲线定理、毛球定理和博苏克－乌拉姆定理一样，是少数刻画欧几里得空间之拓扑性质的关键定理之一。因此，布劳威尔定理在拓扑学中也有重要的地位。这个定理也被应用于证明各种微分方程的深入结果中，在大部分的微分几何课程中都可以见到对这个定理的介绍。即使在看上去与这个定理没有什么关系的领域，例如博弈论中，也能见到布劳威尔定理的应用。在经济学中，布劳威尔不动点定理以及其推广：在证明经济学市场中全局平衡的存在性中扮演了重要角色。后者是由诺贝尔奖获得者和肯尼斯·阿罗在二十世纪五十年代发展起来的。 最初研究这个定理的是专研微分方程的以亨利·庞加莱和为首的法国数学家，因为在证明类似庞加莱-本迪克松定理时需要用到拓扑学的方法。19世纪末期，这个定理的各种类似的版本。一般性的定理是由法国数学家雅克·阿达马在1910年证明的，1912年，魯伊茲·布勞威爾给出了一个新的证明。 (zh) |
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(nl) Теорема Брауэра о неподвижной точке — важная теорема о неподвижной точке, применимая к непрерывным отображениям в конечномерных пространствах, являющаяся основной для некоторых более общих теорем. (ru) Em matemática, sobretudo na análise funcional, o teorema do ponto fixo de Brouwer é um resultado sobre a existência de pontos fixos. Recebe o nome do matemático holandês Luitzen Egbertus Jan Brouwer. O teorema de Brouwer é muito útil para compreensão da topologia dos espaços euclidianos. É também o ponto de partida para a demonstração de outros teoremas do o teorema do ponto fixo de Schauder e o . (pt) Inom matematik är Brouwers fixpunktssats en sats gällande fixpunkter uppkallad efter matematikern L. E. J. Brouwer. (sv) Теорема Брауера про нерухому точку — теорема про наявність хоча б одної нерухомої точки функції F за деяких умов на F. Є основною для деяких більш загальних теорем. Зокрема, будь-яке неперервне відображення замкнутої кулі в себе в скінченновимірному евклідовому просторі має нерухому точку. Брауер довів теорему для випадку в 1909 році. Нехай для точки маємо Сполучимо та променем. Точку перетину променя із граничною сферою позначмо Таким чином, маємо деформаційну ретракцію відповідна гомотопія задається формулою (uk) El teorema del punt fix de Brouwer , el nom es deu al matemàtic holandès Luitzen Egbertus Jan Brouwer, és un dels principals teoremes de punt fix en les matemàtiques. El seu enunciat és el següent: Hi ha diverses demostracions per aquest teorema, per exemple ocupant . En general es prova per la bola unitària, i després per Homeomorfisme és fàcil concloure el cas general. Una observació important és que el teorema no és cert en dimensió infinita. (ca) Brouwer's fixed-point theorem is a fixed-point theorem in topology, named after L. E. J. (Bertus) Brouwer. It states that for any continuous function mapping a compact convex set to itself there is a point such that . The simplest forms of Brouwer's theorem are for continuous functions from a closed interval in the real numbers to itself or from a closed disk to itself. A more general form than the latter is for continuous functions from a convex compact subset of Euclidean space to itself. (en) En matemáticas, y más precisamente en topología algebraica, el teorema del punto fijo de Brouwer (nombrado así en honor al matemático holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer) forma parte de la familia de los así llamados «teoremas de punto fijo», que enuncian que, si una función f verifica ciertas propiedades, entonces existe un punto x0 tal que f(x0) = x0, es decir, un punto fijo de la función. La forma más simple del teorema de Brouwer asume por hipótesis que la función f está definida sobre un intervalo cerrado y acotado, de extremos diferentes, J en sí mismo. De manera más general, la función está definida sobre un conjunto convexo y compacto K de un espacio euclídeo y a valores en K. (es) En mathématiques, et plus précisément en topologie algébrique, le théorème du point fixe de Brouwer fait partie de la grande famille des théorèmes de point fixe, qui énoncent que si une fonction continue f vérifie certaines propriétés, alors il existe un point x0 tel que f(x0) = x0. La forme la plus simple du théorème de Brouwer prend comme hypothèse que la fonction f est définie sur un intervalle fermé borné non vide I et à valeurs dans I. Sous une forme plus générale, la fonction est définie sur un convexe compact K d'un espace euclidien et à valeurs dans K. (fr) In matematica, il teorema di Brouwer è un risultato nell'ambito della topologia che mette in relazione il concetto di funzione continua con la proprietà di avere un punto fisso. Questo risultato deve il nome a Luitzen Brouwer che ne dimostrò la formulazione generale nel 1910 insieme a Jacques Hadamard. Il teorema può essere formulato in diversi modi a seconda del contesto in cui è utilizzato. Nella sua versione più semplice si può enunciare nel seguente modo: sia un disco chiuso nel piano euclideo, allora ogni funzione continua ammette almeno un punto fisso. (it) ブラウワーの不動点定理（ブラウワーのふどうてんていり、英: Brouwer's fixed-point theorem）は、位相幾何学における不動点定理で、ライツェン・ブラウワーの名にちなむ。この定理では、コンパクト凸集合からそれ自身への任意の連続函数 f に対して、f(x0) = x0 を満たす点 x0、すなわち不動点が存在することが述べられている。ブラウワーの定理の最も簡単な形式のものは、実数直線内の閉区間 I あるいは閉円板 D からそれ自身への連続函数 f に対するものである。後者に対するより一般のものは、ユークリッド空間の凸コンパクト部分集合 K からそれ自身への連続函数に対するものである。 この定理ははじめ、アンリ・ポアンカレとエミール・ピカールを中心とするフランスの数学者によって微分方程式の観点から研究されていた。ポアンカレ＝ベンディクソンの定理のような結果を証明する上で、位相幾何学的な手法を利用することが求められていた。19世紀末においてこの研究は、いくつかの定理を証明するに至った。一般的な場合は1910年にジャック・アダマールとライツェン・ブラウワーによって証明された。 (ja) 위상수학에서 브라우어르 고정점 정리(-不動點定理, Brouwer fixed-point theorem)는 라위트전 브라우어르의 이름이 붙은 고정점 정리이다. 이 정리에 의하면, 콤팩트 볼록 집합에서 자기 자신으로 가는 연속함수 f는 고정점, 즉 f(x0)=x0인 x0를 갖는다. 가장 간단한 형식은 폐구간 I, 또는 폐원판 D에서 자기 자신으로 가는 연속함수 f에 대한 것이다. 이보다 조금 더 일반화 된 것이 유클리드 공간의 콤팩트 볼록 부분집합 K에서 자신으로 가는 연속함수 f에 대한 정리이다. 이 정리는 푸앵카레와 피카르가 미분방정식에 관한 작업을 위해 처음 연구하였다. 일반화된 결론은 1910년 자크 아다마르와 라위트전 브라우어르에 의해 처음 증명되었다. (ko) Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym: Każde ciągłe odwzorowanie sympleksu w siebie ma punkt stały. Przez sympleks rozumie się tu sympleks domknięty, dowolnego, nieujemnego wymiaru (a więc niepusty). n-wymiarowy sympleks standardowy zdefiniowany jest jako najmniejszy zbiór wypukły w zawierający punktów leżących na dodatnich półosiach współrzędnych, w odległości 1 od początku układu współrzędnych (inaczej: otoczkę wypukłą punktów o współrzędnej 1 ze wszystkich osi). Inne sympleksy są obrazami standardowych przy odwzorowaniach afinicznych. Zresztą twierdzenie zachodzi dla każdej z przestrzeni topologicznych, homeomorficznej z jednym z sympleksów standardowych. Takie przestrzenie nazywamy sympleksami topologicznymi. (pl) 在数学中，布勞威爾不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布勞威爾不动点定理得名于荷兰数学家魯伊茲·布勞威爾（荷蘭語：L. E. J. Brouwer）。 布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得。布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘射到它自身的函数。而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。 关于不动点的定理很多，但布劳威尔不动点定理是最著名的不动点定理之一，因为它在不少领域中都有应用。在最初的领域中，这个结果与若尔当曲线定理、毛球定理和博苏克－乌拉姆定理一样，是少数刻画欧几里得空间之拓扑性质的关键定理之一。因此，布劳威尔定理在拓扑学中也有重要的地位。这个定理也被应用于证明各种微分方程的深入结果中，在大部分的微分几何课程中都可以见到对这个定理的介绍。即使在看上去与这个定理没有什么关系的领域，例如博弈论中，也能见到布劳威尔定理的应用。在经济学中，布劳威尔不动点定理以及其推广：在证明经济学市场中全局平衡的存在性中扮演了重要角色。后者是由诺贝尔奖获得者和肯尼斯·阿罗在二十世纪五十年代发展起来的。 (zh) |
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