Chaos game (original) (raw)
Gra w chaos – algorytm komputerowego generowania obrazów pewnych fraktali. Generuje on przybliżony obraz atraktora lub punktu stałego dowolnego systemu funkcji iterowanych.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In mathematics, the term chaos game originally referred to a method of creating a fractal, using a polygon and an initial point selected at random inside it. The fractal is created by iteratively creating a sequence of points, starting with the initial random point, in which each point in the sequence is a given fraction of the distance between the previous point and one of the vertices of the polygon; the vertex is chosen at random in each iteration. Repeating this iterative process a large number of times, selecting the vertex at random on each iteration, and throwing out the first few points in the sequence, will often (but not always) produce a fractal shape. Using a regular triangle and the factor 1/2 will result in the Sierpinski triangle, while creating the proper arrangement with four points and a factor 1/2 will create a display of a "Sierpinski Tetrahedron", the three-dimensional analogue of the Sierpinski triangle. As the number of points is increased to a number N, the arrangement forms a corresponding (N-1)-dimensional Sierpinski Simplex. The term has been generalized to refer to a method of generating the attractor, or the fixed point, of any iterated function system (IFS). Starting with any point x0, successive iterations are formed as xk+1 = fr(xk), where fr is a member of the given IFS randomly selected for each iteration. The iterations converge to the fixed point of the IFS. Whenever x0 belongs to the attractor of the IFS, all iterations xk stay inside the attractor and, with probability 1, form a dense set in the latter. The "chaos game" method plots points in random order all over the attractor. This is in contrast to other methods of drawing fractals, which test each pixel on the screen to see whether it belongs to the fractal. The general shape of a fractal can be plotted quickly with the "chaos game" method, but it may be difficult to plot some areas of the fractal in detail. With the aid of the "chaos game" a new fractal can be made and while making the new fractal some parameters can be obtained. These parameters are useful for applications of fractal theory such as classification and identification. The new fractal is self-similar to the original in some important features such as fractal dimension. (en) En matemáticas, el término juego del caos originalmente se refería a un método para crear un fractal, usando un polígono y un punto inicial seleccionado al azar dentro de él. El fractal se crea generando iterativamente una secuencia de puntos, comenzando con el punto aleatorio inicial, en el que cada punto de la secuencia es una fracción dada de la distancia entre el punto anterior y uno de los vértices del polígono; el vértice se elige al azar en cada iteración. Repetir este proceso iterativo una gran cantidad de veces, seleccionar el vértice al azar en cada iteración y descartar los primeros puntos de la secuencia, a menudo (pero no siempre) producirá una forma fractal. El uso de un triángulo regular y el factor 1/2 dará como resultado el Triángulo de Sierpinski, mientras que la creación de la disposición adecuada con cuatro puntos y un factor 1/2 creará una visualización de un "tetraedro de Sierpinski", el análogo tridimensional del triángulo de Sierpinski. A medida que el número de puntos aumenta a un número N, la disposición forma el símplex de Sierpinski (N-1) dimensional correspondiente. El término se ha generalizado para referirse a un método para generar el atractor, o el punto fijo, de cualquier sistema iterativo de funciones (SIF). Comenzando con cualquier punto x0, las iteraciones sucesivas se forman como xk+1 = fr (xk), donde fr es un miembro del SIF dado seleccionado al azar para cada iteración. Las iteraciones convergen al punto fijo del SIF. Siempre que x0 pertenece al atractor del SIF, todas las iteraciones xk permanecen dentro del atractor y, con probabilidad 1, forman un conjunto denso en este último. El método del "juego del caos" traza puntos en orden aleatorio en todo el atractor. Esto contrasta con otros métodos de dibujar fractales, que prueban cada píxel en la pantalla para ver si pertenece al fractal. La forma general de un fractal se puede trazar rápidamente con el método del "juego del caos", pero puede ser difícil trazar algunas áreas del fractal en detalle. El método del "juego del caos" se menciona en el juego creado en 1993 por Tom Stoppard. Con la ayuda del "juego del caos" se puede hacer un nuevo fractal y mientras se hace el nuevo fractal se pueden obtener algunos parámetros. Estos parámetros son útiles para aplicaciones de la teoría fractal como clasificación e identificación. El nuevo fractal es auto-similar al original en algunas características importantes como la dimensión fractal. Si en el "juego del caos" se comienza en cada vértice y se recorren todos los caminos posibles que puede tomar el juego, se obtendrá la misma imagen que con solo tomar un camino aleatorio. Sin embargo, rara vez se toma más de una ruta, ya que la sobrecarga para realizar un seguimiento de cada ruta hace que el cálculo sea mucho más lento. Este método tiene las ventajas de ilustrar cómo se forma el fractal más claramente que el método estándar, además de ser determinista. (es) En mathématiques, le terme jeu du chaos a été introduit en 1993 par Michael Barnsley. À l'origine, il s'agissait d'une méthode simple et rapide de création de fractales utilisant un polygone et un point initial choisi au hasard dans ce polygone. La fractale est créée en créant, par itérations successives une séquence de points, partant d'un point initial choisi aléatoirement, pour lesquels chaque point de la séquence est positionné à une fraction donnée de la distance qui sépare le point précédent d'un des sommets du polygone. Ce sommet est choisi aléatoirement à chaque itération. En répétant ce processus un nombre de fois important, et en ignorant les premiers points de la suite, un motif fractal apparaît dans la plupart des cas. En utilisant un triangle isocèle et un rapport 1/2, le jeu du chaos fait apparaître le triangle de Sierpinski, (voir illustration). Le terme est parfois employé pour désigner une méthode de génération de l'attracteur d'un système de fonctions itérées (IFS). Les motifs créés à partir du jeu du chaos sont ceux générés par un IFS constitué uniquement d'homothéties de rapport égal. Partant d'un point du plan et de k points , les itérations successives créent la suite de points telle que , où est une homothétie de rapport centrée sur l'un des points choisi aléatoirement. L'ensemble des points converge vers l'attracteur concerné. Si le point appartient à l'attracteur, alors tous les points appartiendront à l'attracteur. Cette méthode est utilisée pour sa simplicité et sa rapidité, mais le nombre de motifs qu'elle peut générer est plus limité qu'un système de fonctions itérées. Sauf cas particulier, la dimension de Hausdorff de l'attracteur généré par un jeu du chaos de rapport r, ayant n centres d'homothétie vaut : (fr) カオスゲーム（英: Chaos game）とは本来、多角形とその内部のランダムな点を使ってフラクタルを作る方法を指す。多角形の辺と前の点をランダムに選び、その距離に所定の分数をかけた位置を新たな点とし、これを繰り返すことでフラクタルな図形を得る。三角形と係数 1/2 を用いるとシェルピンスキーのギャスケットが得られる。この手法を使うと、元の図形が隠れたフラクタルオーダーを持っていれば、様々な図形を生成できる。カオスゲームは、無作為な過程によって事前に定義された結果が得られる例である。 今日では、カオスゲームの意味はより一般化しており、反復関数系 (IFS) のアトラクターまたは不動点を生成する方法を指す。任意の点 x0 を開始点とし、xk+1 = fr(xk) のように反復的に次の点を求める。ここで、fr はIFSから無作為に選択されたメンバーである。この反復によってIFSは不動点に収束する。x0 がIFSのアトラクターに属するなら、反復で得られる全ての xk もアトラクターに属し、稠密な集合を形成する。 n個の関数群についての反復過程を擬似コードで表すと、次のようになる。 (x,y) = 単位矩形内の無作為な点 反復 { i = 0 以上 n-1 以下の無作為な整数 (x, y) = Fi(x, y) plot(x, y) } プロットされる点の集まりで、アトラクター全体が無作為に描画されていく。これは、順番に点を描画していく普通のフラクタルとは対照的であり、アルゴリズムによって無数の点が描画されることでアトラクターの画像が浮かび上がってくる。 (ja) Gra w chaos – algorytm komputerowego generowania obrazów pewnych fraktali. Generuje on przybliżony obraz atraktora lub punktu stałego dowolnego systemu funkcji iterowanych. (pl) |
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