Closed range theorem (original) (raw)

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dbo:abstract	Der Satz vom abgeschlossenen Bild ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er macht eine Aussage darüber, wann das Bild eines stetigen linearen Operators abgeschlossen ist. (de) In the mathematical theory of Banach spaces, the closed range theorem gives necessary and sufficient conditions for a closed densely defined operator to have closed range. (en) 数学のバナッハ空間に関する定理である閉値域の定理（へいちいきのていり、英: closed range theorem）とは、稠密に定義された閉作用素が閉の値域を持つための必要十分条件を与える定理である。ステファン・バナフの1932年の論文 Théorie des opérations linéaires において証明された。 X と Y をバナッハ空間とし、T : D(X) → Y を、定義域 D(T) が X において稠密であるような線形閉作用素とし、をその転置とする。閉値域の定理は、次の四つの条件が同値であるということについて述べた定理である: * T の値域 R(T) は、Y において閉である。 * の値域は、X の双対空間において閉である。 * * この定理には、いくつかの系（corollary）が存在することがただちに分かる。例えば、上述のような稠密に定義された閉作用素 T に対して R(T) = Y が成り立つことと、転置に連続な逆が存在することは同値である。同様に、であることと、T に連続な逆が存在することは同値である。 (ja) 闭值域定理是数学中的巴拿赫空间理论中的一个定理，给出了（closed densely defined operator）的值域为闭集的充要条件。这一定理由斯特凡·巴拿赫于1932年在《线性算子理论》（Théorie des opérations linéaires）一文中给出了证明。设X与Y为巴拿赫空间，若T : D(X) → Y是一个闭合的线性算子，它的定义域D(X)在X中稠密，而是它的转置算子。则定理指出，如下四个结论等价： * 的值域（像）是中的闭集。 * 的值域是的对偶空间中的闭集。 * * 此定理有一些直接的推论。比如，当且仅当算子的转置存在连续的逆算子时（continuous inverse），存在一个T使得Im(T) = Y。相似地，当且仅当T存在连续的逆算子时，。 (zh)
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