Cousin's theorem (original) (raw)
En mathématiques, le lemme de Cousin (du nom du mathématicien français Pierre Cousin) est une propriété de la droite réelle équivalente à l'existence de la borne supérieure pour les parties non vides et majorées de ℝ. Il joue un rôle important dans l'intégrale de Kurzweil-Henstock, mais permet également de démontrer directement des théorèmes d'analyse.
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| dbo:abstract | In real analysis, a branch of mathematics, Cousin's theorem states that: If for every point of a closed region (in modern terms, "closed and bounded") there is a circle of finite radius (in modern term, a "neighborhood"), then the region can be divided into a finite number of subregions such that each subregion is interior to a circle of a given set having its center in the subregion. This result was originally proved by Pierre Cousin, a student of Henri Poincaré, in 1895, and it extends the original Heine–Borel theorem on compactness for arbitrary covers of compact subsets of . However, Pierre Cousin did not receive any credit. Cousin's theorem was generally attributed to Henri Lebesgue as the Borel–Lebesgue theorem. Lebesgue was aware of this result in 1898, and proved it in his 1903 dissertation. In modern terms, it is stated as: Let be a full cover of [a, b], that is, a collection of closed subintervals of [a, b] with the property that for every x ∈ [a, b], there exists a δ>0 so that contains all subintervals of [a, b] which contains x and length smaller than δ. Then there exists a partition {I1, I2, …, In} of non-overlapping intervals for [a, b], where and a=x0 < x1 < ⋯ < xn=b for all 1≤i≤n. Cousin's lemma is studied in Reverse Mathematics where it is one of the first third-order theorems that is hard to prove in terms of the comprehension axioms needed. (en) En mathématiques, le lemme de Cousin (du nom du mathématicien français Pierre Cousin) est une propriété de la droite réelle équivalente à l'existence de la borne supérieure pour les parties non vides et majorées de ℝ. Il joue un rôle important dans l'intégrale de Kurzweil-Henstock, mais permet également de démontrer directement des théorèmes d'analyse. (fr) クザンの定理（英: Cousin's theorem）は次のような実解析学における定理である: 閉領域（現代的な用語でいえば閉かつ有界）の各点に対して半径が有限の円（現代的には近傍）が与えられているとき、この領域を有限個の部分領域に分けて、各部分領域がその部分領域内の点を中心とする与えられた円の内部に入るようにできる。 この結果はアンリ・ポアンカレの学生であるピエール・クザンによって1895年に確立・証明されたものである。それはコンパクト性に関するハイネ・ボレルの被覆定理の原型（ のコンパクト部分集合の任意の被覆に対するそれ）の拡張になっている。「クザンの定理」は一般にはアンリ・ルベーグに帰着でき、「ボレル＝ルベーグの定理」と呼び替えられた。ルベーグは1898年にこの結果を思いつき、1903年に彼の学位論文において証明した。 現在では、これは次のように述べられる: を の全被覆とする。つまり、 の閉部分区間の集まりであって、任意の に対して、ある が存在して、 は の部分区間 で かつ なるものを全て含むとする。そのとき の非重複な分割 であって、 かつ なるものが存在する。 さらに、「クザンの定理」（という言葉）は主としてヘンストック＝クルツヴァイル積分においてのみ用いられ、しばしば Fineness Theorem あるいはクザンの補題と呼ばれる。これは次のように述べられる： もし が非退化なコンパクト区間で、 が で定義された任意のゲージならば、 の点付き分割であって -細であるものが存在する。 (ja) |
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