Delta-ring (original) (raw)
Ein δ-Ring (delta-Ring) ist ein spezielles Mengensystem, das in der Maßtheorie Anwendung findet, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verallgemeinerten Volumenbegriffen beschäftigt.
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| dbo:abstract | Ein δ-Ring (delta-Ring) ist ein spezielles Mengensystem, das in der Maßtheorie Anwendung findet, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verallgemeinerten Volumenbegriffen beschäftigt. (de) In mathematics, a non-empty collection of sets is called a δ-ring (pronounced "delta-ring") if it is closed under union, relative complementation, and countable intersection. The name "delta-ring" originates from the German word for intersection, "Durschnitt", which is meant to highlight the ring's closure under countable intersection, in contrast to a 𝜎-ring which is closed under countable unions. (en) Un δ-anneau (lire delta-anneau) est un système d'ensembles dont la définition est un peu plus générale que celle des σ-algèbres (ou « tribus »). Il est possible de présenter dans ce formalisme alternatif une partie de la théorie de la mesure, plus souvent exposée dans le cadre des tribus. Ce choix a l'intérêt de permettre d'éviter l'introduction de parties de mesure infinie. Définition — Un δ-anneau sur un ensemble X est un anneau d'ensembles sur X stable par intersection dénombrable. * Tout σ-anneau est un δ-anneau. Cela découle de la relation ensembliste : * Dès lors, tous les exemples donnés à l'article « σ-anneau » (et a fortiori toutes les tribus) sont aussi des exemples de δ-anneaux. * Il existe des δ-anneaux qui ne sont pas des σ-anneaux. Un exemple simple en est, sur un ensemble X infini, la classe formée des parties finies de X. * Cet exemple est un cas particulier d'une collection d'exemples plus générale. Pour tout espace mesuré (X, 𝒜, μ), l'ensemble des éléments de la tribu 𝒜 qui sont de mesure finie est un δ-anneau. Dans l'exposition traditionnelle du théorème d'extension de Carathéodory, qui étend une mesure définie sur un anneau d'ensembles à la tribu engendrée par celui-ci, la construction peut fournir une mesure qui n'est pas finie et donc nécessiter la considération de parties de mesure infinie. Lorsque la mesure initiale est sigma-finie, on dispose d'une alternative : il est possible d'énoncer le théorème d'extension comme fournissant une extension sur le δ-anneau engendré par 𝒜 et non la σ-algèbre engendrée. Ceci permet l'économie de l'introduction de la valeur +∞ dans la définition d'une mesure. Étant donné un δ-anneau 𝒟 sur un ensemble X, on dit qu'une partie A de X est localement mesurable par rapport à 𝒟 lorsque : La classe des ensembles localement mesurables par rapport à 𝒟 est une tribu. Lorsqu'on dispose d'une mesure finie μ sur 𝒟, on peut l'étendre à une mesure sur la tribu des ensembles localement mesurables en posant, pour tout A de cette tribu : (fr) 数学における δ-集合環（デルタしゅうごうかん、英: δ-ring [of sets]）は σ-集合代数（σ-加法族）の定義を少し一般化するもので、δ-集合環をもとにして測度論を定式化することもできる（σ-加法族を用いて定式化するのがふつう）。δ-集合環で定式化すると、測度無限大の部分集合を導入することが避けられるという意味で有意である。 (ja) У математиці непуста сім'я множин називається δ-кільцем якщо вона є замкнутою щодо операцій об'єднання, доповнення і зліченного перетину: 1. * якщо 2. * якщо 3. * якщо для всіх Якщо виконуються лише перші дві умови, то є кільцем але не δ-кільцем. Тому можна дати означення, що δ-кільце є кільцем множин замкнутим щодо операції зліченного перетину. (uk) |
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