Euler's four-square identity (original) (raw)
La identitat dels quatre quadrats d'Euler és una identitat vàlida en un anell commutatiu. Afirma que: En particular, la identitat permet concloure que qualsevol nombre enter positiu es pot escriure com suma al més quatre quadrats si i només si cada primer pot ser escrit d'aquesta forma. Aquest resultat és atribuït a Lagrange. Euler va escriure sobre aquesta identitat a Christian Goldbach en una carta datada el 4 de maig de 1748.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | La identitat dels quatre quadrats d'Euler és una identitat vàlida en un anell commutatiu. Afirma que: En particular, la identitat permet concloure que qualsevol nombre enter positiu es pot escriure com suma al més quatre quadrats si i només si cada primer pot ser escrit d'aquesta forma. Aquest resultat és atribuït a Lagrange. Euler va escriure sobre aquesta identitat a Christian Goldbach en una carta datada el 4 de maig de 1748. (ca) في الرياضيات، متطابقة المربعات الأربع لأويلر (بالإنجليزية: Euler's four-square identity) تنص على أن جداء عددين، كلٌ منهما مجموع أربعة مربعات، هو أيضا، مجموع لأربعة مربعات. فيما يلي الصيغة. كتب أويلر حول هاته المتطابقة في رسالة إلي غولدباخ. كان ذلك في الرابع من مايو عام 1748. يُبرهن على هذه المتطابقة باستعمال الجبر الابتدائي. استُعملت هذه المتطابقة من طرف لاغرانج من أجل البرهان على مبرهنة المربعات الأربع للاغرانج. انظر إلى . (ar) In mathematics, Euler's four-square identity says that the product of two numbers, each of which is a sum of four squares, is itself a sum of four squares. (en) La Identidad de Euler es una igualdad algebraica entre polinomios, para todos los valores de las ocho variables que recorren su campo de definición polinomial. Construida por Leonhard Euler: Euler comunicó este resultado a Goldbach en una carta fechada el 12 de abril de 1749. La identidad no sólo es válida para números reales, sino para cualquier anillo conmutativo (como en los números enteros, racionales, reales o complejos). En particular, de la identidad se puede concluir que cualquier número entero positivo se puede escribir como suma de a lo más cuatro cuadrados si y sólo si cada primo puede ser escrito de esa forma. Este último resultado se atribuye a Lagrange. (es) En mathématiques, l'identité des quatre carrés d'Euler énonce que le produit de deux nombres, chacun étant la somme de quatre carrés, est lui-même une somme de quatre carrés. Précisément : Généralisant l'identité de Diophante obtenue pour , elle est utilisée en arithmétique modulaire. (fr) 오일러의 네 제곱수 항등식(Euler's four-square identity, -數 恒等式)은 스위스의 수학자인 레온하르트 오일러가 제출한 항등식이다. 이하와 같은 구조를 갖고 있다: 이 항등식은 두 제곱수의 경우에 관찰할 수 있는 단순한 항등식인 을 일반화한 결과이다. 오일러가 이 항등식을 처음으로 쓴 것은 크리스티안 골트바흐에게 보내는 1748년 5월 4일의 편지에서였다. 이 항등식은 단순한 식의 전개만으로 증명할 수 있어 일반적인 복소수체 위에서뿐 아니라 모든 가환환 상에서 성립하며, 주로 라그랑주 네 제곱수 정리 등을 증명하는 데 이용한다. 또, 이 항등식은 그 자체로 사원수 a, b의 노름에 대해 가 성립함을 의미하기도 한다. 보다 일반화된 형태로는 데겐의 여덟 제곱수 항등식이 있다. (ko) In matematica, l'identità dei quattro quadrati di Eulero afferma che il prodotto di due numeri, ognuno dei quali scrivibile come somma di quadrati, si può scrivere come somma di quadrati. In particolare: Eulero scrisse di quest'identità il 12 aprile 1749 nella lettera CXXV a Goldbach. Essa si può dimostrare con semplici passaggi di algebra elementare ed è valida in ogni anello commutativo. Se le a e le b sono numeri reali, esiste una dimostrazione più elegante: l'identità esprime il fatto che il valore assoluto del prodotto di due quaternioni è uguale al prodotto dei loro valori assoluti, così come fa l'identità di Brahmagupta per i numeri complessi. L'importanza di questa identità nell'ambito della teoria dei numeri è legata al suo uso nella dimostrazione di Lagrange del suo teorema dei quattro quadrati. (it) 数学において、オイラーの四平方恒等式 (Euler's four-square identity) とは、4つの平方数の和である2数の積は再び4つの平方数の和になることをいうものである。具体的は、次のようになる。 オイラーはゴールドバッハ宛ての1748年5月4日付の手紙でこの恒等式について書いている（が上記とは異なる符号の取り方をしている）。恒等式は初等代数学で証明でき、任意の可換環において成り立つ。 と が実数であれば、よりエレガントな証明が可能である。恒等式は、2つの四元数の積の絶対値が絶対値の積に等しいと言う事実を表しているのである。（ブラーマグプタの二平方恒等式では複素数に対して同様であるのと同じように。） 恒等式はラグランジュがラグランジュの四平方定理を証明するために使った。正確に言えば、素数に対して定理を証明すれば一般の場合が従うので十分であるということを恒等式は意味している。上記式の符号の取り方は2つの四元数を掛けて得られる符号に対応している。他の符号の取り方は、任意の ak を −ak に、あるいは bk を −bk に、あるいは右辺の自乗されている任意の項の符号を変えることによって、得ることができる。 は以下のような定理である。 の形の恒等式（ただし は と の双線型写像）は、n = {1, 2, 4, 8} に対してのみ可能である。しかしながら、より一般的なによって、 を変数の1つの集合の単に有理関数とすれば（分母を許せば）、すべての n = 2m に対して可能である。四平方恒等式の別種は次のように与えられる。 ただし 次の副産物にも注意しよう。 (ja) In de wiskunde zegt de vier-kwadratenidentiteit van Euler dat het product van twee getallen, die elk op zich een som van vier kwadraten zijn, zelf ook weer een som van vier kwadraten is. Meer specifiek: Euler schreef in een brief van 4 mei 1748 aan Goldbach over deze identiteit. (maar hij gebruikte een andere tekenconventie dan die hierboven wordt gebruikt). Het kan worden bewezen met elementaire algebra en geldt in iedere commutatieve ring. Als de en reële getallen zijn, is er een eleganter bewijs beschikbaar: de identiteit drukt het feit uit dat de absolute waarde van het product van twee quaternionen gelijk is aan het product van hun absolute waarden, op dezelfde manier als de tweekwadratenidentiteit van Brahmagupta-Fibonacci dit doet voor complexe getallen. (nl) Tożsamość czterech kwadratów Eulera – tożsamość algebraiczna zachodząca dla dowolnych ośmiu liczb rzeczywistych, z której wynika, że iloczyn dwóch sum czterech kwadratów również jest sumą kwadratów. Dokładniej: Tożsamość podał Leonhard Euler w 1748 w liście do Christiana Goldbacha. Odgrywa ona kluczową rolę w dowodzie twierdzenia Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych. Jeśli i są liczbami rzeczywistymi, tożsamość wyraża się w inny sposób: moduł iloczynu dwóch kwaternionów równy jest iloczynowi ich modułów; podobną równość dla liczb zespolonych ustala tożsamość Brahmagupty. Tożsamość jest prawdziwa dla z dowolnego pierścienia przemiennego, gdyż może być udowodniona przy użyciu elementarnej algebry (poprzez rozpisanie nawiasów i zamianę kolejności czynników w iloczynach). Dla liczb rzeczywistych można ją wywnioskować z następującej tożsamości dla liczb zespolonych (gdyż kwadrat modułu to suma kwadratów części rzeczywistej i urojonej): której dowód polega na zastosowaniu tożsamości do wszystkich wyrazów po lewej, zaś tożsamości do wyrazów po prawej. (pl) 欧拉四平方和恒等式说明，如果两个数都能表示为四个平方数的和，则这两个数的积也能表示为四个平方数的和。等式为： 欧拉在1748年5月4日寄给哥德巴赫的一封信中提到了这个恒等式。它可以用基本的代数来证明，在任何交换环中都成立。如果as和bs是实数，有一个更加简洁的证明：这个等式表达了两个四元数的积的绝对值就是它们绝对值的积的事实，就像婆罗摩笈多-斐波那契恒等式与复数的关系一样。 拉格朗日用这个恒等式来证明四平方和定理。 (zh) Тождество Эйлера о четырёх квадратах — разложение произведения сумм четырёх квадратов в сумму четырёх квадратов. (ru) Тотожність чотирьох квадратів — алгебраїчна тотожність, що стверджує: добуток суми чотирьох квадратів на іншу суму чотирьох квадратів також буде сумою чотирьох квадратів: Леонард Ейлер написав її в своєму листі до Ґольдбаха від 4 травня 1748 року. Дана тотожність може бути подана у вигляді: добуток модулів двох кватерніонів дорівнює модулю їх добутку. . Подібна тотожність справедлива для довільного комутативного кільця.Тож аналогічне твердження справедливе також для дійсних чисел (тривіальне твердження), комплексних чисел (відоме як тотожність Брамагупти) та октоніонів. (uk) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://sites.google.com/site/tpiezas/005b/ http://math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0841.pdf |
| dbo:wikiPageID | 222004 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 8275 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1102457271 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Prime_numbers dbr:Quaternion dbr:Brahmagupta–Fibonacci_identity dbr:Denominator dbr:Degen's_eight-square_identity dbr:Complex_numbers dbr:Mathematics dbr:Christian_Goldbach dbr:Elementary_algebra dbr:Leonhard_Euler dbc:Elementary_number_theory dbr:Commutative_ring dbr:Composition_algebra dbc:Elementary_algebra dbr:Latin_square dbc:Squares_in_number_theory dbc:Leonhard_Euler dbr:Hurwitz's_theorem_(normed_division_algebras) dbr:Associative_property dbc:Mathematical_identities dbr:Lagrange's_four-square_theorem dbr:Bilinear_map dbr:Joseph_Louis_Lagrange dbr:Square_(algebra) dbr:Real_number dbr:Rational_functions dbr:Pfister's_sixteen-square_identity |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Math dbt:Short_description dbt:Leonhard_Euler |
| dct:subject | dbc:Elementary_number_theory dbc:Elementary_algebra dbc:Squares_in_number_theory dbc:Leonhard_Euler dbc:Mathematical_identities |
| rdf:type | yago:WikicatMathematicalIdentities yago:Abstraction100002137 yago:Attribute100024264 yago:Communication100033020 yago:Equation106669864 yago:Identity104618070 yago:MathematicalStatement106732169 yago:Message106598915 yago:Personality104617562 yago:Statement106722453 yago:WikicatDiophantineEquations |
| rdfs:comment | La identitat dels quatre quadrats d'Euler és una identitat vàlida en un anell commutatiu. Afirma que: En particular, la identitat permet concloure que qualsevol nombre enter positiu es pot escriure com suma al més quatre quadrats si i només si cada primer pot ser escrit d'aquesta forma. Aquest resultat és atribuït a Lagrange. Euler va escriure sobre aquesta identitat a Christian Goldbach en una carta datada el 4 de maig de 1748. (ca) في الرياضيات، متطابقة المربعات الأربع لأويلر (بالإنجليزية: Euler's four-square identity) تنص على أن جداء عددين، كلٌ منهما مجموع أربعة مربعات، هو أيضا، مجموع لأربعة مربعات. فيما يلي الصيغة. كتب أويلر حول هاته المتطابقة في رسالة إلي غولدباخ. كان ذلك في الرابع من مايو عام 1748. يُبرهن على هذه المتطابقة باستعمال الجبر الابتدائي. استُعملت هذه المتطابقة من طرف لاغرانج من أجل البرهان على مبرهنة المربعات الأربع للاغرانج. انظر إلى . (ar) In mathematics, Euler's four-square identity says that the product of two numbers, each of which is a sum of four squares, is itself a sum of four squares. (en) En mathématiques, l'identité des quatre carrés d'Euler énonce que le produit de deux nombres, chacun étant la somme de quatre carrés, est lui-même une somme de quatre carrés. Précisément : Généralisant l'identité de Diophante obtenue pour , elle est utilisée en arithmétique modulaire. (fr) 오일러의 네 제곱수 항등식(Euler's four-square identity, -數 恒等式)은 스위스의 수학자인 레온하르트 오일러가 제출한 항등식이다. 이하와 같은 구조를 갖고 있다: 이 항등식은 두 제곱수의 경우에 관찰할 수 있는 단순한 항등식인 을 일반화한 결과이다. 오일러가 이 항등식을 처음으로 쓴 것은 크리스티안 골트바흐에게 보내는 1748년 5월 4일의 편지에서였다. 이 항등식은 단순한 식의 전개만으로 증명할 수 있어 일반적인 복소수체 위에서뿐 아니라 모든 가환환 상에서 성립하며, 주로 라그랑주 네 제곱수 정리 등을 증명하는 데 이용한다. 또, 이 항등식은 그 자체로 사원수 a, b의 노름에 대해 가 성립함을 의미하기도 한다. 보다 일반화된 형태로는 데겐의 여덟 제곱수 항등식이 있다. (ko) 欧拉四平方和恒等式说明，如果两个数都能表示为四个平方数的和，则这两个数的积也能表示为四个平方数的和。等式为： 欧拉在1748年5月4日寄给哥德巴赫的一封信中提到了这个恒等式。它可以用基本的代数来证明，在任何交换环中都成立。如果as和bs是实数，有一个更加简洁的证明：这个等式表达了两个四元数的积的绝对值就是它们绝对值的积的事实，就像婆罗摩笈多-斐波那契恒等式与复数的关系一样。 拉格朗日用这个恒等式来证明四平方和定理。 (zh) Тождество Эйлера о четырёх квадратах — разложение произведения сумм четырёх квадратов в сумму четырёх квадратов. (ru) Тотожність чотирьох квадратів — алгебраїчна тотожність, що стверджує: добуток суми чотирьох квадратів на іншу суму чотирьох квадратів також буде сумою чотирьох квадратів: Леонард Ейлер написав її в своєму листі до Ґольдбаха від 4 травня 1748 року. Дана тотожність може бути подана у вигляді: добуток модулів двох кватерніонів дорівнює модулю їх добутку. . Подібна тотожність справедлива для довільного комутативного кільця.Тож аналогічне твердження справедливе також для дійсних чисел (тривіальне твердження), комплексних чисел (відоме як тотожність Брамагупти) та октоніонів. (uk) La Identidad de Euler es una igualdad algebraica entre polinomios, para todos los valores de las ocho variables que recorren su campo de definición polinomial. Construida por Leonhard Euler: Euler comunicó este resultado a Goldbach en una carta fechada el 12 de abril de 1749. La identidad no sólo es válida para números reales, sino para cualquier anillo conmutativo (como en los números enteros, racionales, reales o complejos). (es) In matematica, l'identità dei quattro quadrati di Eulero afferma che il prodotto di due numeri, ognuno dei quali scrivibile come somma di quadrati, si può scrivere come somma di quadrati. In particolare: L'importanza di questa identità nell'ambito della teoria dei numeri è legata al suo uso nella dimostrazione di Lagrange del suo teorema dei quattro quadrati. (it) Tożsamość czterech kwadratów Eulera – tożsamość algebraiczna zachodząca dla dowolnych ośmiu liczb rzeczywistych, z której wynika, że iloczyn dwóch sum czterech kwadratów również jest sumą kwadratów. Dokładniej: Tożsamość podał Leonhard Euler w 1748 w liście do Christiana Goldbacha. Odgrywa ona kluczową rolę w dowodzie twierdzenia Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych. Jeśli i są liczbami rzeczywistymi, tożsamość wyraża się w inny sposób: moduł iloczynu dwóch kwaternionów równy jest iloczynowi ich modułów; podobną równość dla liczb zespolonych ustala tożsamość Brahmagupty. (pl) 数学において、オイラーの四平方恒等式 (Euler's four-square identity) とは、4つの平方数の和である2数の積は再び4つの平方数の和になることをいうものである。具体的は、次のようになる。 オイラーはゴールドバッハ宛ての1748年5月4日付の手紙でこの恒等式について書いている（が上記とは異なる符号の取り方をしている）。恒等式は初等代数学で証明でき、任意の可換環において成り立つ。 と が実数であれば、よりエレガントな証明が可能である。恒等式は、2つの四元数の積の絶対値が絶対値の積に等しいと言う事実を表しているのである。（ブラーマグプタの二平方恒等式では複素数に対して同様であるのと同じように。） 恒等式はラグランジュがラグランジュの四平方定理を証明するために使った。正確に言えば、素数に対して定理を証明すれば一般の場合が従うので十分であるということを恒等式は意味している。上記式の符号の取り方は2つの四元数を掛けて得られる符号に対応している。他の符号の取り方は、任意の ak を −ak に、あるいは bk を −bk に、あるいは右辺の自乗されている任意の項の符号を変えることによって、得ることができる。 は以下のような定理である。 ただし 次の副産物にも注意しよう。 (ja) In de wiskunde zegt de vier-kwadratenidentiteit van Euler dat het product van twee getallen, die elk op zich een som van vier kwadraten zijn, zelf ook weer een som van vier kwadraten is. Meer specifiek: (nl) |
| rdfs:label | متطابقة المربعات الأربع لأويلر (ar) Identitat dels quatre quadrats d'Euler (ca) Identidad de los cuatro cuadrados de Euler (es) Euler's four-square identity (en) Identité des quatre carrés d'Euler (fr) Identità dei quattro quadrati di Eulero (it) オイラーの四平方恒等式 (ja) 오일러의 네 제곱수 항등식 (ko) Vier-kwadratenidentiteit van Euler (nl) Tożsamość czterech kwadratów Eulera (pl) Тождество четырёх квадратов (ru) Тотожність чотирьох квадратів (uk) 欧拉四平方和恒等式 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Euler's four-square identity yago-res:Euler's four-square identity wikidata:Euler's four-square identity dbpedia-ar:Euler's four-square identity dbpedia-ca:Euler's four-square identity dbpedia-es:Euler's four-square identity dbpedia-fr:Euler's four-square identity http://hy.dbpedia.org/resource/Չորս_քառակուսիների_նույնություն dbpedia-it:Euler's four-square identity dbpedia-ja:Euler's four-square identity dbpedia-ko:Euler's four-square identity dbpedia-nl:Euler's four-square identity dbpedia-pl:Euler's four-square identity dbpedia-ru:Euler's four-square identity dbpedia-sl:Euler's four-square identity dbpedia-uk:Euler's four-square identity dbpedia-zh:Euler's four-square identity https://global.dbpedia.org/id/CY1H |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Euler's_four-square_identity?oldid=1102457271&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Euler's_four-square_identity |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Euler's_4-square_identity dbr:Euler_four-square_identity dbr:Four_squares_formula |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Quaternion dbr:Euler's_4-square_identity dbr:Euler_four-square_identity dbr:Brahmagupta–Fibonacci_identity dbr:Hurwitz_problem dbr:List_of_things_named_after_Leonhard_Euler dbr:Pauli_matrices dbr:Degen's_eight-square_identity dbr:List_of_mathematical_identities dbr:List_of_mathematical_proofs dbr:List_of_number_theory_topics dbr:Composition_algebra dbr:Euler–Rodrigues_formula dbr:Carl_Ferdinand_Degen dbr:John_T._Graves dbr:Lagrange's_four-square_theorem dbr:Square_(algebra) dbr:Four_square_(disambiguation) dbr:Pfister's_sixteen-square_identity dbr:Four_squares_formula |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Euler's_four-square_identity |